狄利克雷生成函数

对于一个数论函数，设在\(i\)处的点值为\(a_i\)，则定义它的狄利克雷生成函数DGF（Dirichlet Generating Function）为\(f(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^s}\)。
若存在两个狄利克雷生成函数\(f,g\)，其乘积为
\(fg=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum\limits_{d\vert n}f_dg_{\frac{n}{d}}}{n^s}\)。
可以发现两个DGF的乘积恰好为它们的狄利克雷卷积的DGF。
黎曼函数定义为\(\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\)
单位元函数\(e\)的DGF显然为\(e=1\)。
恒等函数\(I\)的DGF为\(I=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}=\prod\limits_{p\in prime}\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{p^{is}}=\prod\limits_{p\in prime}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta(s)\)
莫比乌斯函数\(\mu\)的DGF为\(\mu=\prod\limits_{p\in prime}(1-\frac{1}{p^s})=\frac{1}{\prod\limits_{p\in prime}\frac{1}{1-p^{-s}}}=\frac{1}{\zeta (s)}\)
欧拉函数\(\varphi\)的DGF为\(\varphi=\prod\limits_{p\in prime}(1+\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{p^i-p^{i-1}}{p^{is}})=\prod\limits_{p\in prime}\frac{1-p^{-s}}{1-p^{1-s}}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\)

标签：infty,DGF,函数,limits,狄利克,sum,生成,frac,prod
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