二值图像的几何性质

    二值图像 b(x,y) = 1 表示前景部分，b(x,y) = 0 表示背景部分。其基本几何特性包括：‘

 

    1 面积

     对整个图像区域进行积分，使用零阶矩表示为  。

 

    2 位置

    将图像区域看作一种均匀物质构成得平面，物体得质心即为区域中心；使用一阶矩表示如下：

     ，，进一步改写得：

    ，。

 

    3 朝向

    假设物体沿某一方向比较长，其正交方向比较短，该方向定义为物体朝向。使用最小转动惯量来定义物体长轴，即寻找一条直线，使得物体上所有点到直线上距离平方和最小，定义如下：

    ， r 表示物体上点到直线的最小距离。

    通过最小化 E，可以计算出物体朝向直线，具体如下：

    1）假设二值图像朝向直线已知，使用  定义为 ，如下图：

         

      如上图所示，由于 ，可以建立等式 

     ，化简得

    。

    2）对直线 L 上任意点 ，以点  作为参考点，建立参数方程如下：

    ，s 表示点  距离参考点  的距离。

    3）由于 ，(x,y) 表示图像上的点， 表示直线上的点，将参数方程带入该等式，使得两个变量 简化为一个变量 s，如下：

    ，

    ，

    对 s 求导，当导数为零时表示(x,y)到直线 L 上距离最近  ， 

    计算得 ，将 s 带入  得

    ，

    ，最终推导出转动惯量方程为

    ，其中， 为待求解直线参数。

    4）令 ，，

    将无关变量提出积分符号前，

    同时除以 得  ，

    由于  为图像中心，则最小转动惯量对应得轴过图像中心。

    5）通过 4）结论，直线 L 的确定可转换为对选择角度的求解，具体如下：

    令 ，将图像上点绝对坐标转换为相对于图像中心的相对坐标，带入直线 L 方程得：

    ，重新改写 ，

    当前 E 仅包含未知量 ，再次改写 ，其中 

    ，

    ，

    ，

    使用倍角公式 ，

    ，，

   通过以上分析，二值图像朝向直线为经过中心点，且满足  的 直线，其中，a, b, c 为图像二阶矩。

 

   4 形状

    在分析二值图像朝向时，，该方程是关于  的二次方程，

    其系数 a, b, c 为可构成一个 2*2 矩阵，通过分析该矩阵的特征值与特征向量可以估计出二值图像的形状，具体如下：

    ，通过分析特征值与特征向量，可的如下结论：

    1）较大特征值对应的特征向量方向即为二值图像朝向；

    2）两个特征值相差越小，二值图像越接近圆形。

 

    参考资料 Robot Vision  Berthold Klaus Paul Horn

标签：直线,朝向,物体,图像,如下,几何,二值
来源： https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/12992713.html