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从线性组合的角度理解三维运算

作者:互联网

从线性组合的角度理解三维运算

一、矩阵的向量化

利用分块矩阵概念,矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)可以按行划分为一组行向量

\[A=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \\ \end{pmatrix} \]

其中

\[\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i\in[1,2,\cdots,m] \]

或,按列划分为一组列向量\(A=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\),其中

\[\beta_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{pmatrix},j\in[1,2,\cdots,n] \]

因此,矩阵\(A\)可以看成是有序向量组\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)^T\)或\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\)。

二、向量的线性组合

假设数域\(F\)上的线性空间\(V_m\)上的一组基为\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)\),则\(V\)上任一向量\(\alpha\)可以表示为这组基的线性组合:

\[\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m \]

三、矩阵乘法的向量式

同样利用分块矩阵概念,矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times s}\)的乘法可以表示为:

\[AB=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \\ \end{pmatrix}B=\begin{pmatrix} \alpha_1B \\ \alpha_2B \\ \vdots \\ \alpha_mB \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}\gamma_j \\ \displaystyle\sum_{j=1}^na_{2j}\gamma_j \\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{j=1}^na_{mj}\gamma_j \\ \end{pmatrix} \]

其中,按行划分,\(B=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)^T\),\(AB\)可以看成:\(AB\)的第\(i\)行向量是\(B\)行向量组的线性组合,系数为\(A\)的第\(i\)行\(\alpha_i\)。

\[AB=A(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_s)=(A\theta_1,A\theta_2,\cdots,A\theta_s)=\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^n\beta_1b_{i1} & \displaystyle\sum_{i=1}^n\beta_2b_{i2} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^n\beta_ib_{is} \end{pmatrix} \]

其中,按列划分,\(B=(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_s)\),\(AB\)可以看成:\(AB\)的第\(j\)列向量是\(A\)列向量组\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\)的线性组合,系数为\(B\)的第\(j\)列\(\theta_j\)。

因此,矩阵乘法可以理解为:

四、线性组合在三维计算中的应用

在三维计算中,我们常看到坐标左乘矩阵,或者坐标右乘矩阵

1. 坐标左乘矩阵

矩阵乘法与向量节,\(AB\)的第\(i\)行向量是\(B\)行向量组的线性组合,系数为\(A\)的第\(i\)行\(\alpha_i\)。这时,\(R^n\)上的坐标可以表示为行向量\(v=(c_1,c_2,\cdots,c_n)\),矩阵看成是一组行向量\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^T\),坐标左乘为

\[vA=v\cdot A = (c_1,c_2,\cdots,c_n)\cdot (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = \sum_{i=1}^nc_i\alpha_i \]

2. 坐标右乘矩阵

矩阵乘法与向量节,\(AB\)的第\(j\)列向量是\(A\)列向量组的线性组合,系数为\(B\)的第\(j\)列\(\theta_i\)。这时,\(R^n\)上的坐标可以表示为列向量\(v^T=(c_1,c_2,\cdots,c_n)\),矩阵看成是一组列向量\(A=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n )\),坐标右乘为

\[Av^T=A\cdot v = (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\cdot(c_1,c_2,\cdots,c_n) = \sum_{i=1}^nc_i\beta_i \]

3. 使用线性组合的方式来表示点与矩阵乘法

由以上坐标左乘矩阵坐标右乘矩阵讨论可以看出,我们在计算中使用的坐标与矩阵乘法,无论左乘还是右乘,都是点坐标分量与向量组的线性组合关系,左乘和右乘只是约定了向量的书写方式(行或列)。

从而,矩阵可以看成是有序向量组\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\),其中\(\alpha_i\)可以为行或列向量,我们可以定义矩阵与点坐标的乘法为

\[v\cdot A = A\cdot v = (c_1,c_2,\cdots,c_n)\cdot (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots,c_n) = \sum_{i=1}^nc_i\alpha_i \]

这样,点与矩阵不论左乘还是右乘,结果都是一样的。由此,消除了矩阵存储的行列模式问题,并赋予了矩阵的几何意义。

其中,上述运算满足与矩阵乘法的结合律:

\[(v\cdot A)B=(\sum_{i=1}^nc_i\alpha_i)B=\sum_{i=1}^nc_i\alpha_iB=\sum_{i=1}^nc_i(AB)_i=v\cdot (AB) \]

不过,矩阵乘法间乘法还是与矩阵的行列模式相关,一般的\(AB\neq BA\),所以需要注意矩阵选择的一致性。

\[(A \cdot v)B=(\sum_{i=1}^nc_i\beta_i)B\neq \sum_{i=1}^nc_i\beta_iB \]

其中\((\beta_i)_{n\times 1}B_{n\times n}\)无法相乘,列模式下为:

\[B(A \cdot v)=B((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots,c_n))=B(\sum_{i=1}^nc_i\beta_i)=\sum_{i=1}^nc_i(B\beta_i)=\sum_{i=1}^nc_i(BA)_i \]

所以,还是需要注意左乘与右乘的选择,它关系的矩阵的运算。

4. 几何解析

  1. 一组基就是一个空间坐标系,每一个基就是坐标轴向量;
  2. 点坐标就是在该坐标系下各坐标分量;

假设有两个空间坐标系(两组基)\(M_1, M_2\),点\(v\)在各自坐标系下的坐标为\(v_1,v_2\),有

行向量模式

\[v_1M_1 = v_2M_2 \]

\[v_1 = v_2M_2M_1^{-1} \]

\[v_1M_1M_2^{-1} = v_2 \]

其中:

列向量模式

\[M_1 v_1 = M_2 v_2 \]

\[v_1 = M_1^{-1}M_2 v_2 \]

\[M_2^{-1}M_1 v_1 = v_2 \]

其中:

行列模式之间为转置关系

\[(v_1M_1)_r^T=(M_1v_1)_c \]

五、结语

点坐标与矩阵的乘法从线性组合的角度看,就是:

  1. 矩阵是一组基;
  2. 点坐标是点在这组基上的组合系数;

在三维空间中,可以进一步理解为:

  1. 一组基就是一个局部空间坐标系,每一个基就是坐标轴向量;
  2. 点坐标就是各坐标轴的分量;
  3. 坐标与矩阵相乘是坐标轴向量的线性组合。

使用向量(基,坐标轴向量)来认识矩阵,把握了空间的本质,坐标是各分量在基上的度量,它反映了相对于基向量的线性相关度

标签:beta,运算,矩阵,cdots,三维,线性组合,坐标,alpha,向量
来源: https://www.cnblogs.com/yaoyu126/p/12901225.html