[BJOI2012]最多的方案

题意

给定\(n\)，求\(n\)分成若干个不同的斐波那契数的方案数。\(n\le 10^{18}\)

做法

定义1：令自然数被不同的斐波那契数表示的方法为斐波那契表示
结论1：任何自然数都有斐波那契表示

归纳显然

结论2：任何自然数的斐波那契表示，从大的那项向小的，不断将相邻两项合并，最后形成的是唯一的不相邻的斐波那契表示

证明：
不会有两项相同的可以手玩一下。
如果相邻则还可以合并。
若不是唯一的，因为最后是不相邻的，考虑两种表示中最大的的数较大的那项，另一个表示所有数加起来都不会比其大

所以我们可以把贪心的从大到小分解\(n\)，得到\(f_{pos_1},f_{pos_2},...,f_{pos_m}\)（是从\(pos_m\)开始分解的），\(.s.t~\sum\limits_{i=1}^m f_{pos_i}=n\)
结论3：若将\(f_{pos_i}\)分解为\(f_{pos_{i}-2},f_{pos_{i}-1}\)，则\(f_{pos_{i}-1}\)将不能再分解

归纳显然

现在考虑将这个序列从\(pos_1\sim pos_m\)分解，可以发现\(pos_i\)若确定要分解成小的，根据结论3，可以分解的区间在\((pos_{i-1},pos_i)\)或\([pos_{i-1},pos_i)\)，具体的区间边界，在于\(pos_{i-1}\)是否分解了

结论4：对于\(f_k\)，若要分解的区间在\(f_{[l,k)}\)，则分解的方案数为\(\frac{k-l}{2}\)

枚举左端点即可

令\(g_{i,0/1}\)表示考虑完\(f_{pos_i}\)后，\(f_{pos_i}\)是否分解的方案数

标签：方案,结论,BJOI2012,pos,斐波,相邻,分解,最多,那契
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