20应用统计考研复试要点(part2)--统计学

学习笔记，仅供参考，有错必纠
具体原理：统计量及其抽样分布 ;数据的概括性度量

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文章目录

• 贾俊平统计学
• 数据的分布特征
• 概率与概率分布
• 统计量及其抽样分布

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贾俊平统计学

数据的分布特征

概率与概率分布

• 样本、事件和样本空间

总体：是包含所研究的全部个体(数据)的集合。

样本：是从总体中抽取的一部分元素的集合，构成样本的元素的数目称为样本量。

随机事件：在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件，也叫偶然事件。

必然事件：在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。

不可能事件：在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件。

样本空间：所有和某个实验相关的基本事件的集合。

• 事件的概率

事件A的概率是描述事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量，记事件A出现可能性大小的数值为$P(A)$P(A)，$P(A)$P(A)称为事件A的概率。

• 条件概率

当某一事件B已经发生时，事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为$P(A|B)$P(A∣B)

• 条件概率

两个事件中不论哪一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率，则称这两个事件相互独立。与此相对应的是相依事件，即一个事件发生与否会影响另一个事件的发生。根据事件独立性的含义，由于一个事件发生与否不会影响另一个事件发生的概率，因此其条件概率应等于其无条件概率。即：
$P(B|A)=P(B) \\P(A|B)=P(A)$P(B∣A)=P(B)P(A∣B)=P(A)

也可以简化为:
$P(AB)=P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B)

• 全概公式

设$B_1, B_2, ...$B1​,B2​,...为有限或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个，用式表之，即：
$B_i B_j=\emptyset \\B_1+B_2+...= \Omega$Bi​Bj​=∅B1​+B2​+...=Ω
现在考虑一事件$A$A，因为$\Omega$Ω为必然事件，则有$A=A \Omega =AB_1+AB_2+...$A=AΩ=AB1​+AB2​+...，再由条件概率的定义，得：
$P(A)=P(B_1) P(A|B_1) +P(B_2) P(A|B_2)+... \tag{1}$P(A)=P(B1​)P(A∣B1​)+P(B2​)P(A∣B2​)+...(1)
公式1就称为"全概率公式"

• 随机变量

在同一组条件下，如果每次试验可能出现这样或那样的结果，并且把所有的结果都能列举出来，即把$X$X的所有可能值$x_1,x_2,...,x_n$x1​,x2​,...,xn​都能列举出来。而且$X$X的可能值$x_1,x_2,...,x_n$x1​,x2​,...,xn​具有确定概率$P(x_1), P(x_2),...,P(x_n)$P(x1​),P(x2​),...,P(xn​)，其中$P(x_i)=P(X=x_i)$P(xi​)=P(X=xi​),称为概率函数,则$X$X称为$P(X)$P(X)的随机变量，$P(X)$P(X)称为随机变量$X$X的概率函数。

统计量及其抽样分布

• 统计量

设$X_1,X_2,...,X_n$X1​,X2​,...,Xn​是从总体$X$X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数$T(X_1,X_2,...,X_n)$T(X1​,X2​,...,Xn​)，不依赖于任何未知参数，则称该函数是一个统计量。

• 常用统计量

样本均值、样本方差、变异系数、样本k阶距、样本k阶中心距、样本偏度、样本峰度

• 次序统计量

(略)

• 充分统计量

统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。

• 抽样分布

抽样分布：样本统计量的分布

在总体的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出统计量$T(X_1,X_2,...,X_n)$T(X1​,X2​,...,Xn​)的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。精确的抽样分布大多是在正态总体情况下得到的。在正态总体条件下，主要有卡方分布，t分布，F分布

• 渐进分布

通常，精确抽样分布是很难求得的。有时尽管求出了精确抽样分布，但也因为过于复杂而难以应用。所以，统计学家借助极限工具，寻求在样本量n无限增大时统计量的极限分布。在实际应用中，当n较大时就用这种极限分布作为抽样分布的一种近似。这种极限分布常称为渐近分布。

• 中心极限定理

设从均值$\mu$μ、方差$\sigma ^2$σ2的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为$\mu$μ、方差$\sigma ^2/n$σ2/n的正态分布。

• 样本比例的分布

(略)

• 样本方差的分布

(略)

• 两样本均值之差的分布

(略)

• 两样本比例之差的分布

(略)

• 两样本方差之比的分布

(略)

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来源： https://blog.csdn.net/m0_37422217/article/details/105918647