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有向图与关联矩阵

作者:互联网

    使用线性代数可以更好理解图相关知识。图由顶点与边组成,以下有向图可以使用关联矩阵表示:

       

    矩阵 A 每行表示一条有向边,每列表示一个顶点信息。该图可以表示一个无源电路系统,通过考察矩阵 A 的四个基本子空间,可以有效理解该电路系统。

    矩阵 A 的零空间

    通过求解 ,其解 x 位于矩阵的零空间。展开方程得如下关系:

      

    通过以上关系,可知 位于矩阵 A 的零空间中,同时以上方程组无法推导出更多的关系,故 是矩阵 A 零空间的唯一基,也即矩阵 A 的秩为 3。

    方程  可展开为:

      ,表示个节点直接的电势差。

    由于 位于零空间,其解为 

    矩阵 A 的列空间

    通过以上分析,矩阵 A 的秩为 3,根据 Kirchhoff"s Voltage Law,回路1 与 回路2 上的电势差为0,可建立如下关系: 

       ,该关系表示矩阵 A 列空间,向量 b 包含 5 个变量,但有两个相关等式,满足矩阵 A 的列空间的维数为 3。

    以上关系表示有向图上符合条件的电势差必须满足等式

    矩阵 A 的左零空间

    通过求解 ,其解 y 位于矩阵的左零空间,表示各条边上的电流,

     ,展开方程组得:

    ,其中,每一个等式表示经过结点的电流为零,故矩阵的左零空间描述了 Kirchhoff"s Current Law。

    通过求解以上方程组,可以得到矩阵 A 的左零空间,但可以根据矩阵 A 的列空间推导出矩阵 A 的左零空间,具体如下:

    1)左零空间 垂直于 列空间;

    2)列空间的维数为 3,矩阵列数为 5,则左零空间的维数为 5 - 3 = 2;

    3)矩阵的列空间满足

    4)关系 3)可改写为 ,由于 位于列空间,

       则 位于矩阵的左零空间,并构成左零空间的一组基。

    矩阵 A 的行空间

    由于矩阵的行空间与矩阵的零空间正交,且已知矩阵 A 的零空间为 ,则矩阵 A 的行空间的维数为 3,并满足关系

    

    以上关系可以使用矩阵表达式简明表达:

    1)各节点电势差为

    2)根据电势差可求得电流 ,C 为常数;

    3)流入与流出各个节点电流和为零

    4)整理可得 

    5)当外接电流源时,可表示为 

    通过各个子空间的维度关系,可以推导图的一个重要的公式:欧拉公式,具体如下:

    

    #loops = #edges - (columns - 1)

    #loops = #edges - (#nodes - 1)

    #edges - #nodes + #loops = 1

 

    参考资料 Linear Algebra And Its Applications   Gilbert Strang

标签:关系,有向图,矩阵,电势差,维数,空间,关联矩阵,零空间
来源: https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/12738237.html