离散数学
作者：互联网
第一章 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词
1 .陈述句： 叙述或说明事实的具有陈述语调的句子。
2.命题：能判断真假的陈述句。
3.称判断为正确的命题的真值为真，判断错误的命题的真值为假，因此称命题是具有唯一真值的陈述句。
4.命题分为简单命题和复合命题；不能分解成更简单句子的命题称为简单命题或原子命题，用小写的英文字母p,q,r,...,pi,qi,ri,...表示简单命题，称为命题符号化。
5.对于简单命题来说，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
6.真值可以变化的简单陈述句称为命题变项或命题变元，命题变项是取值“真”或“假”的变量，也用p,q,r,...,pi,qi,ri,...表示，注意，命题变项不是命题。
7.在数理逻辑中，一般用1表示真值为真或真命题，用0表示真值为假或假命题。
8.由简单命题用联结词联结而成的命题称为复合命题。
9.常用联结词：非、并且、或、如果 则、当且仅当。
10.复合命题“p并且q”(或“p和q”)称为p与q的合取式；复合命题“p或q”称为p与q的析取式；复合命题“如果p,则q”称为p与q的蕴涵式；复合命题“p当且仅当q称作p与q的等价式”，等价式当两个命题的真值相同时该复合命题真值为真，否则为假。
11.复合命题“只要p就q”，“p仅当q”,“只有q才p”等，都可以符号化为p指向q的形式，在数理逻辑中，当前件p为假时，p指向q为真。
1.2 命题公式及分类
命题公式
1.若在复合命题中，p,q,r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式称为命题公式。
{
①单个命题常项或变项p,q,r,...,pi,qi,ri,...及0,1是合式公式
②如果A是合式公式，则（非A）也是合式公式
③如果A,B是合式公式，则（A合取B）、（A析取B）、（A蕴涵B）、（A等价B）也是 合式公式
④只有有限次地应用①~③组成的符号串才是合式公式
在命题逻辑中合式公式又称为命题公式，简称为公式
}
命题公式层次
（1）若A是单个命题（常项或变项），则称A是0层公式
（2）称A是n+1（n>=0）层公式是指A符合下列情况之一
① A=非B,B是n层公式
② A=B合取C，其中B,C分别为 i 层和 j 层公式，且n=max（i,j）
③ A=B析取C,其中B,C的层次同②
④ A=B蕴涵C，其中B,C的层次同②
⑤ A=B等价C，其中B,C的层次同②
2.设A为一命题公式，p1,p2,…pn为出现在A中所有的命题变项.给p1,p2,…pn指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
3.含n个命题变项的命题公式共有2的n次方组赋值，对于每个赋值，真值函数的函数值非0即1，于是N个命题变元共可以形成2的2的n次方个不同的真值函数。将命题公式A在所有赋值之下取值的情况列成表，称为A的真值表。
4.构造真值表的步骤如下：
（1）找出命题公式中所含的所有命题变项p1,p2,p3…pn(若无下角标就按字典顺序给出)。
（2）按从低到高的顺序写出各层次。
（3）列出所有可能的赋值，从00…0（n位）开始，每次加一，直到11…1为止。
（4）对应每个赋值，计算每个命题公式各层次的值，直到最后计算出命题公式的值。
定义1.9 设A为一个命题公式
（1）若A在所有赋值下取值均为真，则称A为 重言式或永真式。
（2）若A在所有赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组成真赋值，则称A是可满足式。
1.3 等值演算
根据已知的等值式，推演出与给定公式等值的公式的过程称为等值演算
1.4 范式 （重点）
- 仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式。
仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式称为简单合取式。
注：p 和非p即是简单析取式又是简单合取式 - 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式（合取的析取叫析取）
仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式（析取的合取叫合取）
给定任意的命题公式，都能通过等值演算求出与之等值的析取范式与合取范式，具体步骤如下：
（1）消去→和↔
（2）否定号的消去或内移
（3）使用分配律。求析取范式应该使用 “ ∧ ” 对“∨” 的分配律，求合取范式使用“∨”对 “ ^” 的分配律
3. 任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式，不过命题公式的析取范式和合取范式不是唯一的。
4. 设有n个命题变项，若在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，则这样的简单合取式称为极小项
¬p ∧ ¬q∧¬r 000 记作m0;
¬p ∧ ¬q∧ r 001 记作m1;
¬p ∧ q∧¬r 010 记作m2;
¬p ∧ q∧r 011 记作m3;
p ∧ ¬q∧¬r 100 记作m4;
p ∧ ¬q∧r 101 记作m5;
p ∧ q∧¬r 110 记作m6;
p ∧ q∧r 111 记作m7;
5. 如果公式A的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
6.任何命题公式都有唯一的主析取范式。
求给定命题公式A的主析取范式的步骤如下：（重点）
（1）求A的析取范式A’
（2）若A’的某简单合取式B中不含命题变项pi,也不含否定 ¬p,则将B展成如下形式：
B ⇔ B ∧ 1 ⇔ B∧ (pi ∨ ¬pi ) ⇔ （B∧ pi ）∨ （B∧ ¬pi ）
若B中不含多个这样的 pi，则同时合取所有这样的 pi 与¬pi 的析取
（3）消去重复出现的命题变项和极小项以及矛盾式，如p∧ p用p取代，
p∧¬ p用0取代，mi∨ mi用mi取代
（4）将极小项按下角标由小到大的顺序排列。
主析取范式的用途
1.判断两命题公式是否等值
2.判断命题公式的类型
3.求命题公式的成真和成假赋值
第二章 一阶逻辑
1.在合式公式∀xA和∃xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，在辖域中，x的所有出现称为约束出现（即x受相应量词指导变项的约束），A中不是约束出现的其它变项的出现称为自由出现。
2.换名规则：将一个指导变项及其在下雨中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号。
3.给公式中出现的每一个个体常项符号，函数变项符号和谓词变项符号“赋值”，这就是解释
4.若公示A中无自由出现的个体变项，则称A是封闭的合式公式，简称闭式，对闭式来说，由于每个个体变项都受量词的约束，因而在任何解释下总表达一个意义确定的语句，即是一个命题。
第三章 集合的基本概念
1.集合常用大写的英文字母来标记，例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合
2.空集是一切集合的子集，含有n个元素的集合简称n元集
3.设A为集合，把A的全体子集构成的集合称作A的幂集，记作p(A）
符号表示为 p(A)={ x | x ⊆ A}
4.在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E(或U)
5.A对E的相对补集为A的绝对补集，记作~A 即~A=E-A
6.设A,B为集合，则A,B的对称差是
A⊕B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)
7.德摩根律
A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (B∪C)=B∩~C
A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) (B∩C)=B∪~C
8.集合A中含有n个元素，可以说这个集合的基数是n,记作 cardA=n
如果A的基数是n，也可以记为|A|=n
第四章 二元关系和函数
-
由两个元素x,y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元组称作一个有序对（也称序偶）记作<x,y>(也可记作（x,y）).其中x是它的第一元素，y是它的第二元素 -
一个有序n元组（n>=3）是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，一个有序n元组记作<x1,x2,x3,x4,...,xn>=<<x1,x2,...xn-1>,xn> 递归定义 - ①设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，构成有序对，所 有这样的有序对组成的集合称作A和B的笛卡尔积。记作AXB.
②如果A中有m个元素，B中有n个元素，则AXB和BXA中都有mn个元素。
③若A,B中有一个空集，则他们的笛卡尔积是空集
④当A不等于B且A,B都不是空集时，有AXB不等于BXA,即笛卡尔积不适用于交换律，但对∪或∩运算满足分配律
设A1,A2,A3…An是集合（n>=2）,它们的n阶笛卡尔积记作A1 XA2 XA3X…An,
其中A1 XA2 XA3X…An={< x1,x2,x3,x4,…,xn>|x1∈A1∧ X2∈A2 ∧ …∧ Xn∈An}
5.
二元关系就是集合中两个元素之间的某种相关性，如果一个集合为空集或者他的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R.对于二元关系R,如果<x,y>∈R，则记作xRy
6.
设A,B为集合，AXB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系，特别当A=B时，则称作A上的二元关系。对于任何集合A都有三种特殊的关系：空关系，全域关系EA,恒等关系IA
对任何集合A
EA={<x,y>|x∈A∧ y∈A}=AXA
IA={<x,y>|x∈A}
7.关系图和关系矩阵
关系R的定义域domR,值域ranR和域fldR分别是：
domR={x|∃y(<x,y>∈R)}
ranR={y|∃x(<x,y>∈R)}
fldR=domR ∪ ranR
不难看出，domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合，ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合。
9，
R幂的求法有图解法、关系矩阵法、关系图法、直接观察法、推荐使用关系图法。
10.设R为A上的关系，m,n是自然数，则下面的等式成立。
11.关系的性质
设R是A上的关系，R的性质主要有以下5种：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
12.关系的闭包（重点）
13 等价关系和偏序关系
①等价关系
② 偏序关系
哈斯图（重点）
14 函数的定义和性质
第五章 图的基本概念
1.规定顶点集为空集的图为空图
2.有n个顶点的图（无向图或有向图）称为n阶图。没有一条边的图称为零图。一阶零图，即只有一个顶点、没有边的图，称为平凡图。
3.若一条边所关联的两个顶点重合，则称此边为环
4.若存在一条边e以顶点u为始点，以v为终点，则称u邻接到v.
5.称度数为1的顶点为悬挂顶点，它所关联的边为悬挂边。
6.
7.若通路中的所有边互不相同，则称该通路为简单通路
若通路中除vo,vl外所有顶点互不相同，所有边也互不相同，则称此通路为初级通路或 路径，当vo=vl时，称此初级通路为初级回路或圈
8.有边重复出现的通路称为复杂通路，有边重复出现的回路称为复杂回路。
9.
标签：公式,合取,命题,离散数学,析取范式,变项,集合 来源： https://blog.csdn.net/xiaohaiguang/article/details/104737272