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博弈论相关

作者:互联网

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巴什博奕

简述

只有一堆 n 个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取 m 个,最后取光者胜

题解

我们称先进行游戏的人为先手,后进行游戏的人为后手

  1. 如果 n=m+1,由于一个人最少取 1 个,最多取 m 个,所以先手无论拿走多少个,后手都能一次拿走剩余物品,后手胜
  2. 如果 n=(m+1)×r+s,(r 为自然数,s≤m),先手取胜的方式为:先手第一次拿走 s 个物品,如果后手拿走 k(k≤m) 个,那么先手在拿走 m+1–k 个,即这一轮两人拿走的数和为 m+1,并且由于第一次先手拿走了 s 个,所以剩下 (m+1)×(r−1) 个,以后一直保持这样的取法,无论后手拿走多少个,先手拿走的数量与后手的和总是凑成 (m+1)。那么我们得到如下结论:n%(m+1)=0 时后手必胜,否则先手必胜

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
        if(n%(m+1) == 0)
            cout<<"后手必胜"<<endl;
        else
            cout<<"先手必胜"<<endl;
    return 0;
}
变形

如果我们规定,最后取光者输,那么又如何考虑呢?

反过来想,如果先手拿走了 n-1 个,那最后就剩下一个给后手了,后手就输了(因为这一个必拿,拿了他就是最后一个取光的人,他就输了),那么这个问题就转换为,有一堆 n–1 个物品,最后取光者胜不就行了么,当然,操作方式和基础巴什博弈一样,永远跟对方凑 (m + 1)。结论:(n - 1) \% (m + 1) = 0 时,后手胜,反之先手胜

#include<iotream>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n,m;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        if((n - 1) % (m + 1) != 0)
            printf("first\n");
        else
            printf("second\n");
    }
    return 0;
}

威佐夫博弈:适用于两堆石子的情况。

有两堆若干个石子,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的石子,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者胜

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,k;
    double eqa = (1+sqrt(5.0))/2.0;
    while( scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF )
    {
        
        if( a > b )
        {
            a^=b;
            b^=a;
            a^=b;
        }
        k=b-a;
        if( int( k*eqa )==a )  printf("0\n");
        else    printf("1\n");
    }


尼姆博弈

简述

有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是 “选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人的时候所有石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此时没有任何合法的移动)

分析

这游戏看上去有些复杂,我们先从简单情况开始研究,如果轮到你时,只剩下一堆石子,那么此时必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完,然后对手没有石子拿就输了;如果剩下两堆不相等的石子,必胜策略是通过取多的一堆石子将两堆石子变得相等,之后对手如果在某一堆拿若干颗,你就在另一堆拿同样多的数量,直至胜利;但是如果还剩三堆,应该怎么分析呢?假设有三堆石子(a,b,c),我们前面说到,如果只有两堆石子,并且石子数量满足(n,n),谁先手谁就输。其实我们可以把三堆石子问题转换成两堆,只要满足状态(0,n,n)并且此时是对方先手,那我方按照两堆石子的取法,就能获胜。对于这种(0,n,n)的局势,我们称为奇异局势。对任何奇异局势(a,b,c)都有 a^b^c=0(^ 表示异或),如果我们面对非奇异局势,要如何变为奇异局势呢?假设 a<b<c,我们只要将 c 变为 a^b 即可。道理很简单,因为 a^b^(a^b)=0。要将 c 变为 a^b 也很简单,只要从 c 中减去 c-a^b 即可

例(14,21,39),14^21=27,39-27=12,所以从 39 中拿走 12 个,即可变成奇异局势(14,21.27)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int m;
    int a[1001];
    while(cin>>m&&m)
    {
        int res = 0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i = 0;i < m;i++)
        {
            cin>>a[i];
            res ^= a[i];
        }
        if(res == 0)
            cout<<"Grass Win!"<<endl;
        else
            cout<<"Rabbit Win!"<<endl;
    }
    return 0;
}

 

标签:博弈论,一堆,int,石子,cin,拿走,两堆,相关
来源: https://www.cnblogs.com/Heartbeat358/p/12266808.html