数学专题
作者：互联网
2020年01月27日18:36:47
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- 费马小定理
- 扩展欧几里得算法
- 欧拉函数
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- 高斯消元
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费马小定理
定理：(\(p\) 为质数，\(p\nmid a\))
\[
a^{p-1}\equiv1\mod p
\]
证明：（学习链接）
设一个质数为\(p\)，我们取一个不为\(p\)倍数的数\(a\)。
构造一个序列：\(A=\{1,2,3\dots,n-1\}\)
\[ \Pi\space A_i=\Pi (A_i\times a) \mod p \]
解释：
\[
\because (A_i,p)=1,(A_i\times a,p)=1\\
又 \because 每一个A_i\times a \mod p 都是独一无二的,且A_i\times a \mod p < p \\
得证
\]
设\(f=(p-1)!\),
则\(f\equiv a\times A_1\times a\times A_2\times a \times A_3 \dots \times A_{p-1} (\mod p)\)
\[ a^{p-1}\times f \equiv f \mod p \\ a^{p-1} \equiv 1 \mod p \]
例题：乘法逆元
设逆元为\(x\)
\[
\because a*x\equiv 1 \mod p ,a^{p-1}\equiv 1 \mod p \\
\therefore a^{p-2}\equiv x \mod p
\]
例题2:有理数取余
除以一个数等于乘那个数的倒数
逆元有'同余倒数'之称
数据过大只需要边读入边%即可。
例题3:乘法逆元2
考虑到逆元的性质。题目实际上要我们求\(\large\frac{1}{a_i} \mod p\)，我们只需要构造出求出\(\large\frac{1}{a_i}\)而不用除法的方式。
\[
设\space \textsf S_j\space=\Pi_{i=1}^{i\le j} \\
\frac{1}{a_i}=\frac{1}{S_i}\times S_{i-1} \\
\frac{1}{S_i}=\frac{1}{S_{i+1}}\times a_i
\]
一开始的\(\frac{1}{S_{i+1}}\)用逆元算即可。
标签：专题,frac,times,逆元,数学,textrm,equiv,mod 来源： https://www.cnblogs.com/guodongLovesOi/p/12237515.html