浅谈斜率优化dp

斜率优化dp的本质还是dp
只是转移耗时太大，我们需要根据其转移方程优化

两种常见的计算斜率的方法：
1.作差比较法
举个例子
当前我们的dp转移方程为：（最后求$f[n]$f[n]的最小值）
$f[i]=f[j]+(sumt[i]+s)*(sumc[i]-sumc[j])$f[i]=f[j]+(sumt[i]+s)∗(sumc[i]−sumc[j])
我们取两个$j$j的值，假设为k1,k2（满足$k1<k2$k1<k2）
如果决策$k1$k1比$k2$k2优，那么一定会得到：
$f[k1]+(sumt[i]+s)*(sumc[i]-sumc[k1])<f[k2]+(sumt[i]+s)*(sumc[i]-sumc[k2])$f[k1]+(sumt[i]+s)∗(sumc[i]−sumc[k1])<f[k2]+(sumt[i]+s)∗(sumc[i]−sumc[k2])
移项整理可得：
$\frac{f[k1]-f[k2]}{sumc[k1]-sumc[k2]}<s+sumt[i]$sumc[k1]−sumc[k2]f[k1]−f[k2]​<s+sumt[i]
若将$(sumc[k],f[k])$(sumc[k],f[k])看作点
左边则为两点之间的斜率
所以当斜率K满足$K<s+sumt[i]$K<s+sumt[i]时，决策k1更优

知道这个后如何优化dp呢？
我们在添加决策的时候就可以根据斜率进行删减（根据题意维护一个上凸包或下凸包）
而在查找最优决策的时候

• 如果斜率满足单调性，直接单调队列e.g.例题1
• 如果不具备单调性，二分查找即可e.g[SDOI2012]任务安排

2.直接转化法
还是上面的方程
我们换个形式寻找斜率：
将dp方程表示成y=kx+b的形式
其中：
x：只与j有关，且其系数与i有关
y：只与j有关
k：只与i有关，是某个只与j有关的量的系数
b：一般是与当前要求的dp值有关的量（与i有关）
然后(x,y)只与j有关，看做平面上的点，决策可以认为是一条斜率一定的直线。
然后我们需要最大化或最小化b。

最后得到这样的式子：
$(s+sumt[i])*sumc[j]+f[i]-sumt[i]*sumc[i]=f[j]+s*sumc[n]$(s+sumt[i])∗sumc[j]+f[i]−sumt[i]∗sumc[i]=f[j]+s∗sumc[n]

为什么这样进行优化是正确的？
假设现在有三个决策点
emm……
不想写了（好冷，手都冻僵了）
大家自己画图，然后分类讨论一下
会发现如果三个点呈上凸状，中间那个点无论在哪种情况下都不会作为最优的决策（针对求最小值的情况）

标签：浅谈,k2,sumt,斜率,k1,sumc,dp
来源： https://blog.csdn.net/weixin_42557561/article/details/102769283