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如何理解最小二乘法？

作者：互联网

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}

之所以出现不同的值可能因为：

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10

日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作y_i ：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作y ：

每个点都向y 做垂线，垂线的长度就是|y-y_i| ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

|y-y_i|\to (y-y_i)^2

总的误差的平方就是：

\epsilon=\sum (y-y_i)^2

因为y 是猜测的，所以可以不断变换：

自然，总的误差\epsilon 也是在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的y 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下“如何理解无偏估计？”）。

这就是最小二乘法，即：

\epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

\begin{aligned} \frac{d}{dy}\epsilon &=\frac{d}{dy}\sum (y-y_i)^2=2\sum (y-y_i)\\ \quad\\ &=2((y-y_1)+(y-y_2)+(y-y_3)+(y-y_4)+(y-y_5))=0 \quad\\\end{aligned}

进而：

5y=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\implies y=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5}

正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法：

\epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。

3 推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量：

\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销量\qquad\\\hline \color{red}{25^\circ}& 110 \\\hline \color{blue}{27^\circ}& 115 \\\hline \color{orange}{31^\circ}&155\\\hline \color{Goldenrod}{33^\circ}&160\\\hline \color{green}{35^\circ}&180\\\end{array}

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：

f(x)=ax+b

通过最小二乘法的思想：

上图的i,x,y 分别为：

\begin{array}{c|c|c} \qquad i\qquad&\qquad x\qquad&\qquad y\qquad\\\hline 1&25& 110 \\\hline 2&27& 115 \\\hline 3&31&155\\\hline 4&33&160\\\hline 5&35&180\\\end{array}

总误差的平方为：

\epsilon=\sum (f(x_i)-y_i)^2=\sum (ax_i+b-y_i)^2

不同的a,b 会导致不同的\epsilon ，根据多元微积分的知识，当：

\begin{cases} \frac{\partial}{\partial a}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)x_i=0\\ \quad\\ \frac{\partial}{\partial b}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)=0\end{cases}

这个时候\epsilon 取最小值。

对于a,b 而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：

\begin{cases} a\approx 7.2\\ \quad\\ b\approx -73\end{cases}

也就是这根直线：

其实，还可以假设：

f(x)=ax^2+bx+c

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出a,b,c ，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的f(x) ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：

不同的数据，更可以选择不同的f(x) ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

f(x) 也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。

4 最小二乘法与正态分布

我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？

数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。

高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。

让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：

\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}

每次的测量值x_i 都和线段长度的真值x 之间存在一个误差：

\epsilon_i=x-x_i

这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为：

p(\epsilon)

再假设一个联合概率密度函数，这样方便把所有的测量数据利用起来：

\begin{aligned} L(x) &=p(\epsilon_1)p(\epsilon_2)\cdots p(\epsilon_5)\\ \quad\\ &=p(x-x_i)p(x-x_2)\cdots p(x-x_5)\end{aligned}

讲到这里，有些同学可能已经看出来了上面似然函数了（关于似然函数以及马上要讲到的极大似然估计，可以参考“如何理解极大似然估计法？”）。

因为L(x) 是关于x 的函数，并且也是一个概率密度函数（下面分布图形是随便画的）：

根据极大似然估计的思想，概率最大的最应该出现（既然都出现了，而我又不是“天选之才”，那么自然不会是发生了小概率事件），也就是应该取到下面这点：

当下面这个式子成立时，取得最大值：

\frac{d}{dx}L(x)=0

然后高斯想，最小二乘法给出的答案是：

x=\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}

如果最小二乘法是对的，那么x=\overline{x} 时应该取得最大值，即：

\frac{d}{dx}L(x)|_{x=\overline{x}}=0

好，现在可以来解这个微分方程了。最终得到：

p(\epsilon)={1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{\epsilon^2 \over 2\sigma^2}}}

这是什么？这就是正态分布啊。

并且这还是一个充要条件：

x=\overline{x}\iff p(\epsilon)={1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{\epsilon^2 \over 2\sigma^2}}}

也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。

那么误差的分布是正态分布吗？

我们相信，误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：

那么根据中心极限定理（参考“为什么正态分布如此常见？”），误差的分布就应该是正态分布。

因为高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解最小二乘法？

标签：似然,误差,最小,理解,尺子,正态分布,乘法
来源： https://www.cnblogs.com/leebxo/p/11558922.html