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明安图(卡特兰)数

作者:互联网

转载一个不知出处的博客总结

卡塔兰数组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (18141894)命名。

卡塔兰数的一般项公式为 C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}                      另类递归式:  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几项为 (OEIS中的数列A000108): 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

性质

Cn的另一个表达形式为C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1 所以,Cn是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)

卡塔兰数满足以下递推关系

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.

它也满足

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。(这可以用n!的斯特灵公式来证明。)

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

应用

组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用Cn=3和Cn=4举若干例:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
((())) ()(()) ()()() (())() (()())

                                                                       

证明:

令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有{2n \choose n}个,下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。

从而C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}。证毕。

                                                                                 

                                                                                          



百度百科资料:
简介

  中文:卡特兰数
  Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
  原理:
  令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递归式:
  h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
  该递推关系的解为:
  h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
       另类递归式:  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
  
  前几项为 (OEIS中的数列A000108): 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 
应用

  我总结了一下,最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)
1.括号化问题。

  矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
2.出栈次序问题。

  一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
  类似:
  (1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
  (2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3.将多边行划分为三角形问题。

  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
  类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
  从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
  类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。

  给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?
  (一定是二叉树!
  先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))
  (能构成h(N)个)

标签:兰数,Cn,个数,明安图,卡塔,2n,卡特兰,二叉树
来源: https://www.cnblogs.com/lsyyy/p/11536606.html