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卡特兰数
卡特兰数，一个特殊的数列。通项公式为： \[Cat_n=\frac {C_{2n}^n}{n+1} \]从\(0\)开始的前几项为：\(1,1,2,5,14,42,132,\cdots\)，所以有的题可以直接打个表看看（比如这个） 然后是它是怎么推出来的，最主要的就是从\((0,0)\)到\((n,n)\)不穿过直线\(y=x\)的路径计数（不想上图了，可以手画一个）卡特兰数学习笔记
卡特兰数（Catalan 数）学习笔记 一、引入 问题 1 由 \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 组成的 \(2n\) 项序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\)，求有多少种方案满足其部分和 \(a_1+a_2+\cdots+a_k \ge 0\ (k=1,2,\cdots,2n)\)。 分析 设满足条件的方案数（即答案）为 \(C_n\)，不满足条件的方案卡特兰数
概念： 卡特兰数并不是一个确定的数，而是一类数，是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。它没有一个明确的定义，但可以通过一些模型得出关于卡特兰数的很多信息，下面介绍几个这样的问题。 问题/模型： （一）路径问题 给定 \(n*n\) 的网格(上图是一个 \(6*6\) 的网格)，初始你在左下角[学习笔记]卡特兰数/Prufer序列
1. 卡特兰数 卡特兰数常出现于组合数学/计数问题中 卡特兰数的前 $20$ 项是：$$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, $$ $$16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190$$ 卡特兰数的通项公式是：（记第 $n$ 项卡特兰数为 $Cat_1027 [SCOI2010]字符串 卡特兰数 组合数学 逆元
分析 卡特兰数 + 逆元 卡特兰数模板题，Cnn+m - Cn+1n+m 组合数：Cmn = n! / m! / (n-m)! 通过求逆元求组合数 template<class T> T qmi(T a,T b,T p) { T res = 1; for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p) if(b&1)res = 1ll*res*a%p; return res; } template<class T数学-满足条件的01序列-卡特兰数
C++ AcWing 889. 满足条件的01序列 /* * 问题描述: * 给定 n 个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列， * 求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。 * 输出的答案对 109+7 取模。 *关于卡特兰数
//声明：非原创什么是卡特兰数？明安图数，又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列。以中国蒙古族数学家明安图 (1692-1763)和比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为（从第零项开始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 42卡特兰数
给定 \(n\) 个 0 和 \(n\) 个 1，它们按照某种顺序排成长度为 \(2n\) 的序列，满足任意前缀中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列的数量为：\(Cat(n) = C_{2n}^n - C_{2n}^{n - 1} = \frac{C_{2n}^n}{n + 1}\) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long constMatrix Chain Multiplication using Dynamic Programming Formula
Matrix Chain Multiplication using Dynamic Programming Formula what is matrix multiplication 做矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列必须和第二个矩阵的行相等。 结果的矩阵的dimension是2×2（ first row × second column） 我做了2×3×2次乘法 first row ×（first column卡特兰猜想的一个弱化形式
Introduction 笔者最近在《初等数论及其应用》上看到了这样一个题： 求所有满足 \(p^a - q^b = 1\) 的 \(p,q,a,b\) ，其中 \(p,q\) 是素数，\(a , b > 1\) 并证明其答案的正确性。 经询问学长及查阅资料发现，该问题若去掉素数的限制就是卡特兰猜想了。 卡特兰猜想（Catalan's Conjectur卡特兰应用回顾（01序列，二叉搜索树个数与方案）
卡特兰数 定义 卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列，关于卡特兰数的题目大多都有一个差不多的套路：对于一个规模为n的问题，先找一个元素固定下来，然后将剩下的n-1个元素拆分成两个子问题 若一个数列\(f_n\)满足: \[f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*卡特兰数——网格
原题链接 卡特兰数公式 变形一下 用分解质因数求组合数解 #include<iostream> #include<cmath> #include<vector> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 25050; int primes[N], cnt; int sum[N]; bool st[N]; int x, y; void get_primes(int n)//线性筛卡特兰数
卡特兰数 模型 给定 n个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。 几何意义 对于每一个序列，我们定义 0：向右走一格 1：向左走一格 于是每一个长度为 2n 的序列都对应了坐标Catalan (卡特兰数)
Catalan (卡特兰数) 前置知识： 1、排列数公式： A n m = n (初探卡特兰数及有关问题
星期日，哥参加了上大学以来的第一次计算导论与程序设计的上机考试，可是最后一道题没AC。 这道题给了卡特兰数的一种通项公式，让你求卡特兰数的第n项。 从考场走出来之后，心里空落落的，不仅因为这道题没打出来直接影响了整个考试，还因为自己似乎从来没完全出于兴趣研究过某个数学问题……[算法导论] 卡特兰数
参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0 卡特兰数 应用举例 原理思维过程
首先满足奇数位递增这个条件 显然有且只有从\(2n\)个数中取\(n\)个数，即\(C_{2n}^{n}\)，就能满足这个条件 在满足这个条件之后，剩下了\(n\)个数，显然顺序不能变 举个例子\(n=3\) 那么假设取出了\(1\) \(2\) \(5\) 那么剩下三个数的顺序只能是\(3\) \(4\) \(6\)，不能是其他的如\(4\) \(6组合数学
可重集排列 可重集组合 错排列 圆排列 鸽巢原理 二项式定理 容斥原理 卡特兰数卡特兰数（计算顺序进栈的出栈情况）
原题链接：牛客网 原题： 若一序列进栈顺序为e1,e2,e3,e4,e5,问存在多少种可能的出栈序列？ 答案为42 该题为组合数学问题，有一段解释我觉得说得很好: 首先，我们设 f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后P3200 [HNOI2009]有趣的数列
题目描述 P3200 [HNOI2009]有趣的数列 样例输入：3 10 样例输出：5 题解 看样例猜做法 大概猜一猜 观察到答案是卡特兰数列 接下来我们看看为什么是这样。 首先化简题目 对于一个 \(2*n\) 的排列，我们要求： 奇数位置上的数递增 偶数位置上的数递增 奇偶相邻位置数递增 奇怪的tip：偶奇相邻[数学]卡特兰数
前言 卡特兰数是初赛中比较重要的数学知识，所以写篇博客总结一下。 定义 用 \(C_n\) 表示从 \((0,0)\) 出发，每次只能向右或向上走 1 步，且 \(x\) 轴的值始终不小于 \(y\) 轴的值，到 \((n,n)\)的方案种数。 通项+证明 \[C_n=\dfrac{1}{n+1}\left(\begin{matrix}2n \\ n\end{matrix}\r96-不同的二叉搜索树
题目 给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。 示例 1： 输入：n = 3 输出：5 示例 2： 输入：n = 1 输出：1 题解 class Solution { public int numTrees(int n) { int[] dp=new int[n+1];组合数奇技淫巧
来自模拟赛题（不公开 前置：卡特兰数推导模型 参考P1641 [SCOI2010]生成字符串 当终点在不可触的轴（上题为-1）上，并要求只有终点可触该轴时 发现直接翻转失灵了/qwq 但是又因为终点只能从一个方向走到，不然会不满足题意 所以倒数第二个点也是确定的/qwq 然后换一个终点就做完了浅谈卡特兰数
前言： 本文主要参考： 卡特兰数知识讲解 卡特兰数题目讲解 卡特兰数的生成函数 《具体数学》 卡特兰数 本文同步在：浅谈卡特兰数 定义： 卡特兰数作为在OI中的一类特殊数列，其拥有广泛的意义。 我们先来看一下这个数列本身： 数列的前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,...[TJOI2015] 概率论
[TJOI2015] 概率论 我们设 \(f[n]\) 表示有 \(n\) 个节点的不同形态的二叉树的数量, \(g[n]\) 表示有 \(n\) 个节点的不同形态的二叉树的叶子节点的总和. 显然, \(f\) 是卡特兰数. 接下来让我们看一个结论: \(g[i] = f[i - 1] * n\) 为什么呢? 考虑一个有 \(n\) 个节点 \(k\)