[HAOI2008]糖果传递

首先我们要用到一些均分纸牌的思想(已经理解这种思想的大佬请跳过):

设\(A_i\)表示第\(i\)个小朋友原有的糖果数量,

设\(ave\)表示所有小朋友糖果数量的平均数,

\(X_i\)表示第\(i\)个小朋友向左传的糖果数量。即：

①如果\(X_i>0:\quad\) 第\(i\)个小朋友向左传\(X_i\)个糖果；

②否则如果\(X_i<0:\quad\) 第\(i\)个小朋友向左传\(|X_i|\)个糖果。

所以该题的代码为：

Code：

#include<cstdio>
int a[101];
int n,x,s;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        x+=a[i];
    }
    x/=n;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        a[i]-=x;
        if(a[i]!=0)
        {
            ++s;
            a[i+1]+=a[i];
        }
    }
    printf("%d",s);
    return 0;
}

好现在让我们回到原题糖果传递上来。

看看刚刚设的什么：

设\(A_i\)表示第\(i\)个小朋友原有的糖果数量,

\(ave\)表示所有小朋友糖果数量的平均数,

\(X_i\)表示第\(i\)个小朋友向左传的糖果数量。

则由题可得方程：
\[ A_1+X_2-X_1=ave \]
\[ A_2+X_3-X_2=ave \]
\[ ··· \]
\[ A_n+X_1-X_n=ave \]
即：

\[A_i+X_{i+1}+X_i=ave(1\le i<n)\]

\[A_n+X_1+X_n=ave(i=n)\]

变形得：
\[ X_2=ave+X_1-A_1 \]
\[ X_3=ave+X_2-A_2=ave+(ave+X_1-A_1)-A_2=2ave-A_1-A_2+X_1 \]
\[ ··· \]
\[ X_1=ave+X_n-A_n=n·ave-A_1-A_2-…-A_n+X_1 \]

这时我们设:
\[ C_1=A_1-ave \]
\[ C_2=A_1+A_2-ave \]
\[ ··· \]
\[ C_n=A_1+A_2+…+A_n-n·ave \]

即设：

\[C_i=\sum_{j=1}^iA_j-i·ave(1\le i\le n)\]

则有:
\[ X_2=X_1-C_1 \]
\[ X_3=X_1-C_2 \]
\[ ··· \]
\[ X_n=X_1-C_n \]

即：

\[X_i=X_1-C_i\]

这时我们返回来看所求,要求传递价值最小，

这就是说，要求最小化
\[ |X_1|+|X_2|+···+|X_n| \]
而该式等于
\[ |X_1-C_1|+|X_1-C_2|+···+|X_1-C_n| \]

即求:

\[MIN \{ \sum_{i=1}^nX_i \}=MIN \{ \sum_{i=1}^nX_1-C_i \}\]

这样就好办了，\(C_i\)是已知（额，至少是可以预处理出来）的，要想最小化上式，我们把\(C_i\)看成数轴上的一个个点，现在问题就转化成了找出一个点\(X_1\)，使得她到各个\(C_i\)上的点的距离和最小。

显然，这个点就是这\(n\)个点的中位数。。。（一会再给出数学证明）

那么求出了\(X_1\)之后，根据
\[ X_2=X_1-C_1 \]
\[ X_3=X_1-C_2 \]
\[ ··· \]
\[ X_n=X_1-C_n \]

这一坨柿子，我们可以求出\(X_2,X_3…X_n\),然后就可以偷税的得到所求的：

最小化
\[ |X_1|+|X_2|+···+|X_n| \]

啦233~~~

代码好丑，大家别嫌弃qwq：

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
#define inline il

typedef long long ll;
typedef long double ld;

const int inf = 0x7fffffff;
const int N = 1e6+1;

ll n;
ll a[N],c[N];
ll ave,ans,mid;

using namespace std;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld",&a[i]),ave+=a[i];
    ave/=n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        c[i]=c[i-1]+ave-a[i-1];
    sort(c+1,c+n+1);
    mid=c[(n+1)/2];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans+=abs(mid-c[i]);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

附：数学证明

在数轴上有\(n\)个点，找出一个点\(x\)，使得她到各个点的距离和最小。

求证：该点表示的数就是这\(n\)个数的中位数。

如果我们把数轴上的点两两配对，最大的配最小的，次大的配次小的……

则到每组点最近的距离的点在这两个点中间，那么

如果有奇数个点，那么显然中间那个点便为所求。

∴该点表示的数是这\(n\)个数的中位数得证。

注：有一些柿子在文中以不同的形式重复出现，主要是为了同时满足大佬和蒟蒻的需要。一些前面写了‘即…’并用

这个东西

框起来的一般是适合大佬的较严（bian）格（tai）数学写法，而其他的则是简明易懂的正常的、不变态的写法。

希望大家喜欢，点个赞哦：）

标签：le,数轴,int,传递,ave,小朋友,糖果,HAOI2008
来源： https://www.cnblogs.com/oierwyh/p/11342175.html