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【数论】本原勾股数组(PPT)的性质

2019-08-11 16:00:35 作者：互联网

基本性质

　　勾股数组我们都很熟悉，给一个勾股数组同乘一个整数得到的仍是勾股数组，但我们对它并不感兴趣，今天我们只研究它的本原形式（当然是在正整数范围内）。

本原勾股数组(PPT)是一个满足 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $ 的三元组 $ (a,b,c) $ ，且 $a,b,c$ 互素(除1外没有其他公因数)。
例如：$ (3,4,5) (5,12,13) (15,8,17) (7,24,25) (21,20,29) (35,12,37) (9,40,41) $

　　观察这些例子，我们容易得到一些结论。例如，

性质1.(1) 本原勾股数组 $ (a,b,c) $ 中， $a$与$b$奇偶性不同，并且$c$为奇数。

　　这是正确的，证明如下（分类讨论）：

　　　　若 $a,b$ 均为偶数，那么$c$也为偶数，则此勾股数组不是本原的，排除；
　　　　若 $a,b$ 均为奇数，那么$c$为偶数，则必存在正整数 $x,y,z$ 使得 $ a=2x+1, b=2y+1, c=2z$ ,于是有

$(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}=(2z)^{2}$， $4x^{2}+4x+4y^{2}+4y+2=4z^{2}$， $2x^{2}+2x+2y^{2}+2y+1=2z^{2}$

　　　　由于两边奇偶性不同，故等式不成立；
　　　　因此$a,b$奇偶性不同，由此$c$为奇数(方便起见，我们约定，如无特殊说明，下文中$a$为奇数，$b$为偶数)

勾股数组定理

　　有了这个性质以后，我们就可以开始考虑求解一个问题：如何求出所有的本原勾股数组？换句话说，如何表示出方程$a^{2}+b^{2}=c^{2}$($a$为奇数，$b$为偶数，且$a,b,c$互素)的所有正整数解？

　　先写出结论：

（勾股数组定理）每个本原勾股数组(a,b,c)(a为奇数，b为偶数)均可以由下面的公式给出

$a=st，b=\frac{(s^{2}-t^{2})}{2}，c=\frac{(s^{2}+t^{2})}{2}$
其中 $s>t\geq1,s,t$ 互素且均为奇数

　　下面，我们将使用因式分解与整除性证明这一定理。

　　首先移项并进行因式分解：$a^{2}=(c+b)(c-b)$
　　然后……就没有思路了 o(╯□╰)o 别急，我们先列个表看看这个式子有什么性质：

$3=(5+4)(5-4)=9\cdot1$
$5=(13+12)(13-12)=25\cdot1$
$15=(17+8)(17-8)=25\cdot9$
$7=(25+24)(25-24)=49\cdot1$
$21=(29+20)(29-20)=49\cdot9$
$35=(37+12)(37-12)=49\cdot25$

　　我们发现，貌似..... $c+b$ 与 $c-b$ 都是完全平方数诶，而且 $c+b$ 与 $c-b$ 好像是互素的。等等， $c+b$ 与 $c-b$ 的积$a^{2}$是完全平方数，假设 $c+b$ 与 $c-b$ 互素，那么由唯一分解定理，就可以推出 $c+b$ 与 $c-b$ 都是完全平方数(这是显然的，因为 $c+b$ 与 $c-b$ 分解到的素数完全不同)。于是接下来证明 $c+b$ 与 $c-b$ 互素：设整数d整除 $c+b$ 与 $c-b$ (即$d$为 $c+b$ 与 $c-b$ 的公因数)，那么$d$也整除

$(c+b)+(c-b)=2c, (c+b)-(c-b)=2b$

　　又 $b$ 与 $c$ 互素，那么$d$只能等于1或2。又$d$整除$c-b$(奇数)，那么$d$只能等于1（或者也可以由$d$整除 $(c-b)(c+b)=a^{2}$ 且$a$为奇数推出）。于是 $c+b$ 与 $c-b$ 的公因数只有1(也即互素)，即可得到 $c+b$ 与 $c-b$ 均为完全平方数，于是有：

$ c+b=s^{2}, c-b=t^{2} $

其中$s>t≥1$，$s,t$互素且均为奇数(这样才能满足 $c+b$ 与 $c-b$ 的其它性质)
关于$c$与$b$解方程，并代入求$a$得到

$b=\frac{(s^{2}-t^{2})}{2},c=\frac{(s^{2}+t^{2})}{2},a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=st$

代码与例题

　　那么，这个定理有什么用呢？当然就是打表列举本原勾股数组了，代码如下：

int gcd(int a,int b){ //求a,b的最大公因数
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void ppt_table(int n){ //打印所有c不超过n的本原勾股数组
    int a,b,c;
    int maxs=(int)sqrt(2*n); //s的上界
    for(int s=2;s<=maxs;s++)
        for(int t=1;t<s;t++)
            if(s%2 && t%2 && gcd(s,t)==1){
            a=s*t;
            b=(s*s-t*t)/2;
            c=(s*s+t*t)/2;
            if(c<=n) printf("%d %d %d",a,b,c);
            }
}

例题(这个知识点的题几乎没有，~~事实上我只找到这一个~~)：
洛谷 UVA106 费马vs毕达哥拉斯
题意：给定$N$，求：1.满足$c≤N$的本原勾股数组的个数；2.满足$c≤N$的勾股数组(不一定本原)都不包含的正整数 $p(0<p≤N)$ 的个数。
分析：使用勾股数组定理，将上面的代码稍稍更改一下即可。

展开查看源代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
int vis[N],cnt,ans;

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void solve(int n){
    int a,b,c;
    int maxs=(int)sqrt(2*n);
    for(int s=2;s<=maxs;s++)
        for(int t=1;t<s;t++)
            if(s%2 && t%2 && gcd(s,t)==1){
                a=s*t;
                b=(s*s-t*t)/2;
                c=(s*s+t*t)/2;
                if(c<=n) cnt++;
                for(int k=1;k*c<=n;k++)
                    vis[k*a]=vis[k*b]=vis[k*c]=1;
            }
}

int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1){
        solve(n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!vis[i]) ans++;
        printf("%d %d\n",cnt,ans);
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        cnt=ans=0;
    }
    return 0;
}

标签：奇数,数论,PPT,int,互素,数组,本原,勾股
来源： https://www.cnblogs.com/yhyxy/p/11333686.html

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