【模版】【P3806】点分治

（7.17）早就想学点分治了……今天状态不太在线，眯一会写篇笔记来理理思路。

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　　（静态）点分治是一种利用无根树性质暴力分治的思想，可以在O(nlog^2n)的复杂度下统计可带权树上的路径信息。

　　像是这道例题，多组询问是否存在长度为k的路径，需要我们预处理出一个储存所有路径长度信息的桶。

　　点分治的做法，就是选定一个合适的根节点，把树上的所有路径分成不重不漏的两部分来统计：

　　1、经过根节点u的路径；

　　2、在u某个子树中的路径。

　　每次分治我们会统计出第一种路径的信息，然后递归进入u的每个子树，将第二种路径看作它的子树内的子问题来求解。

　　首先，我们要选定一个合适的根节点开始分治。最理想的根节点要满足它的每个子树大小都基本一样大；于是我们就想起了重心这个好东西。

　　　无根树的重心u的性质：

　　　　1、最大子树的大小最小。

　　　　2、最大的子树大小小于等于树大小的一半。

　　如果每次选定该子树的重心为根来进行分治，我们就可以保证递归的进行不超过logn层。

1. void find_rt(int u, int pre) {  
2.     size[u] = 1;  
3.     int Mx = 0;  
4.     for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {  
5.         int v = edge[i].to;  
6.         if (v == pre || vis[v]) continue;  
7.         find_rt(v, u);  
8.         size[u] += size[v];  
9.         Mx = max(Mx, size[v]);  
10.     }  
11.     Mx = max(Mx, Size - size[u]);  
12.     if (Mx < Mn)   
13.         root = u, Mn = Mx;  
14. } 

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　　接下来是分治的过程。

　　针对这道题来说，我们通过一次暴力dfs统计出当前子树中每个点的路径信息（包括根自身，深度为0），然后继续很暴力地两两组合路径，然后就出问题了……

　　直接合并任意两条路径是行不通的，因为这两条路径可能来自u的同一个子节点v。此时我们得到的这条不合法路径的信息把u--->v的这条边统计了两次，所以我们要再遍历一遍它的每个子树，把这些不合法路径去掉。具体的操作可以看代码，用到了容斥原理。

 

1. void dfs(int u, int pre, int depth) {  
2.     chd[++tot] = depth;  //记录每个子节点深度
3.     for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {  
4.         int v = edge[i].to;  
5.         if (v == pre || vis[v])   
6.             continue;  
7.         dfs(v, u, depth + edge[i].w);  
8.     }  
9. }  
10. void solve(int u, int extra, bool f) {  //第三个参数表示加减
11.     tot = 0;  
12.     dfs(u, 0, extra);  
13.     if (f) {  
14.         for (int i = 1; i <= tot; ++i)  
15.             for (int j = i + 1; j <= tot; ++j)   
16.                 ++ans[chd[i] + chd[j]];  
17.     } else {  
18.         for (int i = 1; i <= tot; ++i)  
19.             for (int j = i + 1; j <= tot; ++j)   
20.                 --ans[chd[i] + chd[j]];  
21.     }  
22. }  
23. void divide(int u) {  //分治过程
24.     vis[u] = true;  
25.     solve(u, 0, 1); 
26.     for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {  
27.         int v = edge[i].to;  
28.         if (vis[v]) continue;  
29.         solve(v, edge[i].w, 0);  //第二个参数为初始的深度，保证与以u为根算出的深度统一。
30.         Mn = inf, Size = size[v];  
31.         find_rt(v, 0);  
32.         divide(root);  
33.     }  
34. }  

　　大概不管是谁看到这里都想吐槽了：这个常数大到哪里去了？每回都要多跑一遍O(n)的搜索和O(n^2)的统计，虽然复杂度没有变，但是接受不能。

　　实际上分治的过程有第二种写法，但是我还没有掌握，所以今天就先更新到这里。

标签：路径,int,模版,分治,edge,P3806,Mx,size
来源： https://www.cnblogs.com/TY02/p/11203163.html