绕圈跑 题解
作者:互联网
一、题目:
二、思路:
这是一道非常有代表性的题目,之前也同样碰到过类似这个题的难点。希望读者朋友能够耐心读完。
首先将v数组排序,最大的速度设为\(v_m\)。
设\[T=\frac {l\times c }{v_m}\]表示最快的人跑完所花费的时间,即比赛的总时间。
对于每个(i,j),设\(V_i>V_j\),则i同学追上j同学一圈所需时间为\(\frac {c}{V_i-V_j}\).由于总时间为T,则能追上圈数为\[\lfloor \frac{T}{\frac{c}{v_i-v_j}} \rfloor\].即\[\lfloor \frac {l\times v_i}{v_m}-\frac{l\times v_j}{v_m} \rfloor\].
如果我们能把它拆成\[\lfloor \frac {l\times v_i}{v_m} \rfloor-\lfloor \frac{l\times v_j}{v_m} \rfloor\]就很棒了。我们就可以在瞬间计算出i的答案。
那么我们考虑这两个式子有什么区别。
设\(X_i=\lfloor l*v_i/v_m \rfloor\),\(Y_i=(l*v_i)\mod v_m\).
则\(l*v_i=X_i*v_m +Y_i\).
那么\[\lfloor \frac {l\times v_i}{v_m}-\frac{l\times v_j}{v_m} \rfloor\]
\[=X_i-X_j+\lfloor \frac{Y_i-Y_j}{V_m}\rfloor\].
如果\(Y_i-Y_j>=0\),那么\(\lfloor \frac{Y_i-Y_j}{V_m}\rfloor=0\),上面两个式子就是相等的。
如果\(Y_i-Y_j<0\),那么\(\lfloor \frac{Y_i-Y_j}{V_m}\rfloor=-1\),这两个式子有1的差别。
于是我们对于每个i,用权值树状数组维护出有多少个j满足\(Y_j>Y_i\),整道题就获得了解决。
小结一下,有很多问题都必须使用下取整,这时候用这种方法就可以高效的维护这些信息了。
三、代码:
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 3;
int n, c, t, Vmax, tr[N];
ll ans, sum, l;
struct cow {
int speed, rank;
cow(): speed(0), rank(0){}
bool operator < (const cow &b) const {
return speed < b.speed;
}
} a[N];
struct BIT {
int f[N];
BIT(){ memset(f, 0, sizeof(f)); }
void Insert(int x) {
for (; x <= t; x += x & -x)
++f[x];
}
int Query(int x) {
int res = 0;
for (; x; x -= x & -x)
res += f[x];
return res;
}
} Bit;
int main() {
freopen("running.in", "r", stdin);
freopen("running.out", "w", stdout);
scanf("%d%I64d%d", &n, &l, &c);//人数、圈数、一圈长度
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", &a[i].speed);
sort(a + 1, a + n + 1);
Vmax = a[n].speed;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
tr[i] = a[i].rank = l * a[i].speed % Vmax;
sort(tr + 1, tr + n + 1);
t = unique(tr + 1, tr + n + 1) - tr - 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
a[i].rank = lower_bound(tr + 1, tr + t + 1, a[i].rank) - tr;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
ll cur = l * a[i].speed / Vmax;
ans += cur * (i - 1) - sum - (i - 1) + Bit.Query(a[i].rank);//这里的树状数组正好维护的信息反了,它维护的是有多少个Yj<=Yi,所以用i-1减去它就可以了。
sum += cur;
Bit.Insert(a[i].rank);
}
cout << ans << endl;
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}
标签:lfloor,frac,int,题解,rfloor,times,绕圈,speed 来源: https://www.cnblogs.com/little-aztl/p/11160660.html