[NOI2018]冒泡排序
作者：互联网
性质+模型转化
首先，一个排列是“好”的，当且仅当：每个数，要么是前缀最大值，要么是后缀最小值。（讨论i和Pi的关系即可证明）
也就是，排列不能存在>=3的下降子序列！
换句话说，假设之前填了i个数，最大值是mx，那么第i+1个数，要么是剩下数的最小值，要么是比mx大的数。
字典序，肯定按位考虑，转化成没有限制的情况，
所以先处理没有限制的情况
这样DP，
$f[i][j]$剩下i个数，比之前最大值大的数有j个的方案数。
第n-i+1个位置，要么填最小值，要么填这j个数之一。
填这j个中第k大的数（它就成为了新的最大值），就只能剩下j-k个比最大值大的了。
转移：$f[i][j]=\sum_{k=0}^{j}f[i-1][k]$，k=0代表填了最小值。前缀和优化
当然，i>=j必须保证
然后可以卡位。
之前比最大值大的数有nw个，第i个位置数是ai，
第i个位置：
1.$p_i>a_i$
$p_i$一定是一个比最大值大的数
如果$a_i$是前缀最大值，则nw=n-a[i]
否则，nw=n-前缀最大值
显然为了严格大于，如果nw=0，一定不行。
自由之后，方案数是：$\sum_{j=0}^{nw-1}f[n-i][j]=f[n-i+1][nw-1]$
2.$p_i=a_i$
判断$a_i$是不是前缀最大值或者后缀最小值即可
O(T*n^2)
过不去。
瓶颈在于O(n^2)DP
这个DP很模式化啊，，，
$f[i][j]=\sum_{k=0}^{j}f[i-1][k]$
能不能发现组合意义？
结论：
$f[i][j]=C(i+j-1,j)-C(i+j-1,j-2)$
证明：
显然必须有i>=j
本质是，(0,0)往(i,j)走，每次要么往右走，要么往右上走，不越过直线(i=j)的方案数。
可以对偶成：从(1,1)走，每次往右往上走，不能越过直线（i=j-1）的方案数
蓝色折线和绿色折线一一对应！
不合法的也一一对应！（请自行画图）
从(1,1)走，每次往右往上走，不能越过直线（i=j-1）的方案数
这个直接卡特兰数一样，对称容斥下即可。
O(n)
标签：前缀,要么,最大值,冒泡排序,往右,最小值,NOI2018,nw 来源： https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/11032215.html