生成函数初探

生成函数在计算方案数以及计算递推公式时都有很大的作用，本文对生成函数的知识做一个初步的介绍（主要是博主自己不会）

一.基本定义：

给出序列{$a_{n}$}={$a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n}$},构造一个函数（或者多项式）$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$，则这个函数称作这个序列的生成函数（也叫母函数）

例：序列{$1,1,1....$}的生成函数是$F(x)=1+x+x^{2}+...$

可以看到，对于一个无穷数列，其生成函数自然会有无穷项

但是我们在解决问题时显然不可能讨论一个有无穷项的函数，而且这种函数的运算是极其困难的，因此我们考虑对这种函数进行化简：

（在化简这里有两种说法，这两种说法都能得出最后的结果，因此对于我这种蒟蒻暂且认为这二者等价，如果有大佬发现问题请及时讲解，谢谢！）

①.来自大部分资料的观点：

对于一个函数$F(x)=1+x+x^{2}+...$，可以发现这是一个等比数列求和的形式，由于在生成函数中真正体现数列性质的是每一项前的系数，而自变量本身的取值则意义不大，大部分时候我们不需要也不应该对这个自变量进行赋值，因此我们不妨给定一个定义域$x\in (0,1)$，这样基于无穷递缩等比数列求和公式（$\sum_{i=0}^{∞}q^{i}=\frac{1}{1-q}(q\in (0,1)$）立刻可以得出该函数的一个变形：$F(x)=1+x+x^{2}+...=\frac{1}{1-x}$

②.来自一个ppt的观点：

 对于一个多项式，给出记法$F(x)mod x^{n}$表示$F(x)$在只保留次数低于$n$的项之后剩余的部分

那么仍然套用等比数列求和公式（虽然不是递缩的不一定收敛但保证$x!=1$公式还是可以用的嘛）

可以写出：$F(x)=\frac{1-x^{n}}{1-x}$

当$n->∞$时，一定有：$\frac{1-x^{n}}{1-x} mod x^{n}=\frac{1}{1-x}$

因此$F(x)=1+x+x^{2}+...=\frac{1}{1-x}$

（这两种观点我个人认为都是在$n->∞$时令$x^{n}=0$基于等比数列求和给出的，因此最后导出的结果一致，至于中间理解...见仁见智吧，我个人更喜欢第一种理解方式）

 无论如何，我们已经做出第一个生成函数了

可是...这玩意有啥用？

问题：

设物品$A$共有$n$种价格，每种价格$i$有$a_{i}$个物品

设物品$B$共有$m$种价格，每种价格$i$有$b_{i}$个物品

求：已知总花费$w$，在$A$，$B$两种物品中各购买一件物品，问总方案数？

（sb水题）

设物品$A$选用的价格为$i$，则与之对应的物品个数即为$a_{i}$，那么物品$B$选用的价格即为$w-i$，与之对应的物品个数为$b_{i}$，因此这一种的贡献即为$a_{i}b_{w-i}$

因此总贡献即为$\sum_{i=0}^{w}a_{i}b_{w-i}$

 （我会FFT，NTT！！！）

于是目测这个问题已经解决了

（好像没用上生成函数嘛）

但是，如果我们换个角度思考，对序列{$a_{n}$}，{$b_{m}$}分别构造生成函数$F(x)=\sum_{i=0}^{w}a_{i}x^{I}$,$G(x)=\sum_{i=0}^{w}b_{i}x^{i}$，那么上面的答案不就是$F(x)$与$G(x)$做卷积后$x^{n}$这一项前面的系数嘛！

（我不用生成函数也能看出来！）

如果我们有200个序列有各自的要求呢？

emmmmm.....

好像问题有点大...

但是，如果我们用生成函数，无论有多少个序列，最后也都是把这一坨东西乘起来就行了嘛

好像问题不大了...

可是...如果我们给出的数列有无穷项呢？

总不能跑无穷的FFT吧...

问题好像又出来了...

但是，如果仔细想想，怎么会让你做一个又没有递推（通项）又无穷的数列嘛！

这不是难为人吗

因此，如果一个数列有递推或者通项，那么生成函数可以借助上面的形式去化简啊

可是...我们最后要的是生成函数中某一项的系数，都变成这种诡异的分式怎么找最后的答案嘛！

不要忘了，上面我们做的都是等式，等式左右两侧可以互换的啊！

因此如果我们最后能求出一个分式的结果，那我们就能反向导出一个多项式！

因此我们的核心问题就在于怎么快速双向推导

我们有前辈的经验！

两个常见的模型：

$F(x)=1+x^{a}+x^{2a}+...=\frac{1}{1-x^{a}}$

在有限项下的特殊情况：

$F(x)=1+x^{a}+x^{2a}+...+x^{na}=\frac{1-x^{(n+1)a}}{1-x^{a}}$

（注意！无限项与有限项是有本质区别的，因此有限项不应该套成无限项的公式）

另一个模型：

$F(x)=\sum_{i=0}^{∞}C_{i+k-1}^{k-1}x^{i}=\frac{1}{(1-x)^{k}}$

（以上内容不加证明直接给出）

下面给出一道例题：

luogu 2000

题解看这里

当然了，生成函数还有别的用处，比如用来求个通项之类的，最典型的例子就是斐波那契数列通项的计算，通常用的是特征根法，但是生成函数是一个适用范围更广的方法

这里留坑

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来源： https://www.cnblogs.com/zhangleo/p/11005422.html