DTFT变换的性质

线性性质

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw})​ \]

则
\[ \begin{aligned}ax[n]+by[n]&\xrightarrow{DTFT}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(ax[n]+by[n])e^{-jwn} \\ &=a\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}+b\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n]e^{-jwn}\\ &=aX(e^{jw})+bY(e^{jw}) \end{aligned} \]

时移性质

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw}) \]

则\(x[n-n_0]\)的傅里叶变换为
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]e^{-jwn}\xrightarrow{m=n-n_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-jwm}e^{-jwn_0}=e^{-jwn_0}X(e^{jw}) \]

频移性质

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw}) \]

则\(e^{jw_0n}x[n]\)的傅里叶变换为
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jw_0n}x[n]e^{-jwn}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j(w-w_0)n}=X(e^{j(w-w_0)}) \]

时域反转

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw}) \]

则\(x[-n]\)的傅里叶变换为
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]e^{-jwn}\xrightarrow{m=-n}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-(-jw)m}=X(e^{-jw}) \]

时域微分

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw}) \]

由于
\[ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw \]

两边同时对\(n\)进行微分运算
\[ \frac{dx[n]}{dn}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}jwX(e^{jw})e^{jwn}dw \]

所以
\[ \frac{dx[n]}{dn}\xrightarrow{DTFT}jwX(e^{jw}) \]

频域微分

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw}) \]

由
\[ X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} \]

两边同时对\(w\)进行微分
\[ \frac{dX(e^{jw})}{dw}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}-jnx[n]e^{-jwn} \]

\[ \Rightarrow \sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]e^{-jwn}= j\frac{dX(e^{jw})}{dw} \]

所以
\[ nx[n]\xrightarrow{DTFT}j\frac{dX(e^{jw})}{dw} \]

卷积性质

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw}) \]

则二者卷积的\(DTFT\)为
\[ \begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]*y[n])e^{-jwn}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]y[n-m]e^{-jwn} \\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n-m]e^{-jwn} \\ &\xrightarrow{k=n-m}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-jwm}\sum_{k=-\infty}^{\infty}y[k]e^{-jwk} \\ &=X(e^{jw})Y(e^{jw}) \end{aligned} \]

调制定理

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw}) \]

则\(x[n]y[n]\)的\(DTFT\)为
\[ \begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]y[n])e^{-jwn} &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{j\theta})e^{j\theta n}d\theta e^{-jwn} \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]^{-j(w-\theta)n}Y(e^{j\theta})d\theta \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{j\theta})X(e^{j(w-\theta)})d\theta \end{aligned} \]

Parseval定理

设
\[ x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw}) \]

则
\[ \begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^{*}[n]&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{jw})e^{jwn}dw)^{*} \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x[n]e^{-jwn}Y^{*}(e^{jw})dw \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})Y^{*}(e^{jw})dw \end{aligned} \]

得到Parseval定理
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^{*}[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})Y^{*}(e^{jw})dw \]

如果\(y[n]=x[n]\),那么
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert X(e^{jw})\vert^2dw \]

即序列\(x[n]\)的能量，可以通过对\(\vert X(e^{jw})\vert^2\)的积分求得，所以称\(\vert X(e^{jw})\vert^2\)为序列\(x[n]\)的能量谱密度。

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