一篇不大正经的关于数论的总结(未完

顶函数（\(\lceil {x} \rceil\)）、底函数（\(\lfloor {x} \rfloor\)）：

常称之为高斯（取整）函数。

定义：

顶函数：\(\geq {x}\)的最小整数。
底函数：\(\leq {x}\)的最大整数。
举个例子：

\(1.\lceil {1.5} \rceil=2\)
\(2.\lfloor {1.5} \rfloor=1\)
\(3.\lceil {-1.5} \rceil=-1\)
\(4.\lfloor {-1.5} \rfloor =-2\)

带余除法：

定义:

\(对于任意整数a,b（a\geq b,b\neq 0）,\)\(存在q,r,满足a=qb+r（0\leq r \leq |b|）,且q，r唯一\)
我们把a叫做被除数，b叫做除数，q叫做商，r叫做余数。
可以证明\(q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)（证明如下）

\(\because这个是很显然的\)
\(\therefore q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor\)

整除：

定义：如果\(a\)能把\(b\)除尽，余数为0，那么就说是\(b\)被\(a\)整除，即\(a|b\)。

整除的性质：

• 自反性：对于任意\(n\)，有\(n|n\)。
• 传递性：若\(a|b,b|c\)，那么\(a|c\)。
• 反对称性：若\(a|b,b|a\)，即\(a=b\)。（对称性：若\(a\)满足\(b\cdots\)关系，那么\(b\)也满足\(a\cdots\)关系）
  

• 若\(b|a,c|b\)，则\(c|a\)。（证明如下）

  \(\because b|a,c|b\)
  \(\therefore（所以必然存在两个整数x，y）使得a=xb\)，\(b=yc\)
  \(又\therefore a=xyc\)
  \(\because a/c=xy\)
  \(\therefore c|a\)

• 若\(c|a,c|b\)，则对任意数\(x,y\)，必有\(c |（ax+by）。\)（证明如下）

  \(\because c|a,c|b\)
  \(\therefore （所以必然存在两个整数p，q）使得a=pc\)，\(b=qc\)
  \(又\therefore c |（pcx+qcy）\)
  \(c|c（px+qy）\)
  \(\because 两边都有c\)
  \(\therefore c（px+qy）是c的倍数\)
  \(又\therefore c|(ax+by)\)

• 若\(b|a,a\neq 0\)，则有\(|b| \leq |a|\)。（证明如下）

  \(\because b|a\)
  \(\therefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb\)
  \(又\therefore a是b的倍数，|b| \leq |a|\)。

• 若\(b|a,a\neq 0\)，则\(\left( \frac ab \right)|a\)。（证明如下）

  \(\because b|a\)
  \(\therefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb\)
  \(又\therefore \left( \frac {a}{b} \right)=\left( \frac {qb}{b} \right)=q\)
  \(\because a是q的倍数\)
  \(\therefore q|a\)
  \(又\therefore \left(\frac{a}{b}\right)|a\)

• 若\(b|a,c|a,b\bot c\)，则\(bc|a\)。（举例如下）

  \(1.当a=12,b=1,c=6时，1|12,6|12,1\bot12,6|12。\)
  \(2.当a=72,b=8,c=9时，8|72,9|72,8\bot9,72|72。（自反性：72|72）\)

• 若\(a|b,b|a\)，则\(|a|=|b|\)。（反对称性）

• 若\(a|b\)，对任意整数\(c\)，则\(a|bc\)。（证明如下）

  \(\because a|b\)
  \(\therefore b=xa，b是a的倍数\)
  \(又\therefore乘上任意整数c，bc依旧是a的倍数\)
  \(又\therefore a|bc\)

• 若\(a|b\)，对于任意整数\(m（m\neq0）\)，则\(ma|mb\)。（证明如下）

  \(\because 这是显然的\)
  \(\therefore ma|mb\)

  唯一分解定理（算术基本定理）：

  \(n=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*\cdots\)
  其中\(p_i\)是质数，\(p_1=2,p_2=3 \cdots\)以此类推

  结论：

  设\(p\)为质数，对于任意整数\(a\)，则有\(p|a\)或者\((p,a)=1\)。（证明如下）

  \(\because p为质数\)
  $\therefore a要么是p的倍数，要么p\perp a。 $
  \(又\therefore p|a或者(p,a)=1\)

  约数和倍数：

  推论：

  在算术基本定理中，若\(N\)被唯一分解为\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\),其中\(c_i\)是正整数，\(p_i\)是质数且满足\(p_1<p_2<\cdots p_m\),则\(N\)的正整数集合可写作\(：\)
  

  {\(p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_m^{b_m}\)},其中\(0\leq b_i \leq c_i\)
  N的正约数个数为\(:\)
  \[(c_1+1)*(c_2+1)*\cdots*(c_m+1)=\prod_{i=1}^{m}(c_i+1)\]
  \(N\)的所有正约数之和为\(:\)
  \[(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{c_1})*\cdots*(1+p_m+p_m^2+\cdots+p_m^{c_m})=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^{j})\]

  定义：

  若\(a|b,a\)是\(b\)的约数，\(b\)是\(a\)的倍数，称\(a\)为\(b\)的因子（对于任何数\(n\)，至少有两个因子\(1\)和\(n\)本身，称它们为\(n\)的平凡因子，其他即为非平凡因子）。特别的，任何正整数都是\(0\)的约数。

  约数的求法：

  1.试除法：

  因为约数总是成对出现，所以只需要从\(1\) ~\(\sqrt{n}\)。时间复杂度\(:O(\sqrt{n})\)

#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;

#define N 10086

int a[N];

int n;

int cnt=0;

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;

    //clock_t start = clock();
    
    for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i) {
        if(n%i==0) {
            a[++cnt]=i;
            if(n/i!=i) a[++cnt]=n/i;
        }
    }
    for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
    
    //clock_t ends = clock();
    
    //cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
    
    return 0;
}

2.倍数法：

如果更改题意，给出\(l,r\)，要求求\(l-r\)之间的每个数的正约数集合。那么再用试除法，时间复杂度就为\(O(N\sqrt{N})\)，变得有点恶心，特别是在\(N\)非常大的时候。譬如跑\(1-100000\)。消耗的时间如下：

运行代码如下：

#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;

#define N 10086

int a[N];

int n;

int cnt=0;

int l,r;

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>l>>r;

    clock_t start = clock();

    for(int j=l; j<=r; ++j) {
        memset(a,0,sizeof(a));
        cnt=0;
//      cin>>n;
        for(int i=1; i<=sqrt(j); ++i) {
            if(j%i==0) {
                a[++cnt]=i;
                if(j/i!=i) a[++cnt]=j/i;
            }
        }
        for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
        cout<<"\n";
    }
    
    clock_t ends = clock();

    cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
    return 0;
}

标签：约数,because,正经,一篇,数论,int,cdots,right,therefore
来源： https://www.cnblogs.com/morbidity/p/10871967.html