带上下界的网络流的学习笔记啦~

注意：代码还在路上。

无源汇上下界可行流 

模型

给定一个网络，求一个流，满足每条边的流量都 \(min⩽flow⩽max\) ，并且每个点都满足 总流入量=总流出量（流量守恒） ，没有源汇。

思路

核心是将一个不满足流量守恒的初始流调整成满足流量守恒的流

初始流，不一定满足流量守恒，每条边的流量都是这条边的流量下界

附加流，不一定满足流量守恒，但是和初始流的叠加流满足流量守恒

新增虚拟源点汇点\(s,t\)

设\(d[i]=\)流入量-流出量

• \(d[i]>0\) ，\(s\)向\(i\)连流量为\(d[i]\)的边
• \(d[i]<0\)，\(i\)向\(t\)连流量为\(-d[i]\)的边

每条边的流量变为\(up-down\)，就是上界减下界

有可行流的必要条件是\(s\)的出边的流量总和等于\(t\)的入边的流量总和

存在可行流的条件\(s\)到\(t\)的最大流\(=\sum_{d[i]>0} d[i]\)

最后，每条边的实际流量就是初始流+附加流

Code

咕咕咕

有源汇上下界可行流 

模型

满足源点流出量\(=\)汇点流入量，其它节点流量守恒，每条边都满足上下界限制

思路

建一条从\(t\)到\(s\)的边上界为\(inf\)，下界为\(0\)，这样就可以转化成无源汇的模型

然后最后整个网络的流量就是边\(t \rightarrow s\)的流量

Code

咕咕咕

有源汇上下界最大流 

模型

有源汇的可行流的情况下满足总流量最大

思路

最大流\(=\)可行流流量\(+\)新增广的\(s\)到\(t\)的最大流

在求完可行流之后，在对原图的残余网络求一次最大流

因为是在更改附加流，对原来的流量上界不会造成影响

Code

咕咕咕

有源汇上下界最小流 

模型

有源汇的可行流的情况下满足总流量最小

思路

最大流\(=\)可行流流量\(-\)新增广的\(t\)到\(s\)的最小流

相当于是在跑反向边，跑的过程中是不会改变流量守恒的

而且是在更改附加流，对原来的流量下界也不造成影响

Code

咕咕咕

无源汇上下界最小/大费用可行流 

模型

在无源汇上下界可行流的基础上，要求费用最小/大。

思路

每条边的费用是不变的，和虚拟源汇的边费用是\(0\)

把跑最大流改为跑最小/大费用最大流

Code

咕咕咕

无源汇上下界最小/大费用可行流 

模型

在有源汇上下界可行流的基础上，要求费用最小/大。

思路

每条边的费用是不变的，和虚拟源汇的边费用是\(0\)

把跑最大流改为跑最小/大费用最大流

Code

咕咕咕

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标签：可行,守恒,网络,流量,下界,Code,带上,汇上
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