bzoj 2301

2019-04-08 16:54:34 作者：互联网

一道莫比乌斯反演入门题。

首先观察题目要求： $\sum_{i=a}^{b}\sum_{j=c}^{d}[gcd(i,j)==k]$ 的数对数

首先可以发现，这个东西同时有上界和下界，所以并不是很容易计算

那么我们变下形，可以看到：原式= $\sum_{i=1}^{b}\sum_{j=1}^{d}[gcd(i,j)==k]-\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{b=1}^{d}[gcd(i,j)==k]-\sum_{i=1}^{b}\sum_{j=1}^{c-1}[gcd(i,j)==k]+\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{j=1}^{c-1}[gcd(i,j)==k]$

是不是清晰很多了？~~（当然没有！）~~

不，这一步很重要的目的在于消去了下界，使得我们的计算更方便了。

而且可以发现这四个式子的形式是一样的，所以我们对一个式子进行研究就可以了。

那么问题就变成了这样：

求满足 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$ 的数对数

那么我们再进行研究，可以发现：如果有gcd(i,j)==k，那么一定有gcd(i/k,j/k)==1！

于是我们用i/k替代i，j/k替代j，原式就变为求 $\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[gcd(i,j)==1]$ 的数对数

接下来我们考虑计算方法：

首先，如果两个式子的上界相等，则可以直接利用欧拉函数计算

但很不幸的是，上界并不相等，所以我们需要换一种方法做。

接下来进行一些推导：

设数论函数 $\epsilon$ 为单位元函数（即 $\epsilon (1)=1,\epsilon(n)=0(n!=1)$ ）,那么可以立刻得到： $\epsilon(x)=(x==1)=\sum_{d|x}\mu(d)$

基于这一点，我们把上面的[gcd(i,j)==1]进行变形可得：

原式= $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

这样的话，实际我们只是在研究对于每个d， $\mu(d)$ 被统计了多少次！

这样问题就变得简单了：我只需统计对于每个d，有多少个i和j同时是d的倍数即可

而我们知道，在[1,n]范围内，数d的倍数的个数=[n/d]

因此原式立刻变成了：

$\sum_{d=1}^{[n/k]}\mu(d)[n/kd][m/kd]$ （注意这里的上界应该是n/k,m/k中较小者）

按理说算到这里就差不多了，可以直接O（n）出解，但是这道毒瘤题居然有多组询问！

这样考虑询问的个数的话时间是不够的。

于是我们还需要优化。

很幸运的是，我们发现表达式中有[n/kd][m/kd]这两个东西

我们知道，对于两个数n，m，在x∈[1,min(n,m)]范围内，[n/x]*[m/x]的取值个数是根号级别的！

这样的话我们只需找出所有这些取值（很显然每一个取值的取等区间都是连续的），然后对应地乘上莫比乌斯函数的前缀和就可以了！

贴代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
int T;
int pri[50005];
bool used[50005];
int miu[50005];
int smiu[50005];
int cnt=0;
int a,b,c,d,k;
void init()
{
	miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++)
	{
		if(!used[i])
		{
			pri[++cnt]=i;
			miu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=50000;j++)
		{
			used[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				miu[i*pri[j]]=0;
				break;
			}
			miu[i*pri[j]]=-miu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=50000;i++)
	{
		smiu[i]=smiu[i-1]+miu[i];
	}
}
ll solve(ll x,ll y)
{
	ll ans=0;
	if(x>y)
	{
		swap(x,y);
	}
	x/=k,y/=k;
	int last=0;
	for(int i=1;i<=x;i=last+1)
	{
		last=min(x/(x/i),y/(y/i));
		ans+=(smiu[last]-smiu[i-1])*(x/i)*(y/i);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	init();
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		printf("%lld\n",solve(b,d)-solve(a-1,d)-solve(b,c-1)+solve(a-1,c-1));
	}
	return 0;
}

标签：50005,2301,gcd,上界,int,include,我们,bzoj
来源： https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/89093689