似然函数

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在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：

利用贝叶斯定理，

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

 

注意到这里并不要求似然函数满足归一性：。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有{\displaystyle \alpha >0}，都可以有似然函数：

 

常说的概率是指给定参数后，预测即将发生的事件的可能性。拿硬币这个例子来说，我们已知一枚均匀硬币的正反面概率分别是0.5，要预测抛两次硬币，硬币都朝上的概率：

H代表Head，表示头朝上

p(HH | pH = 0.5) = 0.5*0.5 = 0.25.

这种写法其实有点误导，后面的这个p其实是作为参数存在的，而不是一个随机变量，因此不能算作是条件概率，更靠谱的写法应该是 p(HH;p=0.5)。

而似然概率正好与这个过程相反，我们关注的量不再是事件的发生概率，而是已知发生了某些事件，我们希望知道参数应该是多少。

现在我们已经抛了两次硬币，并且知道了结果是两次头朝上，这时候，我希望知道这枚硬币抛出去正面朝上的概率为0.5的概率是多少？正面朝上的概率为0.8的概率是多少？

如果我们希望知道正面朝上概率为0.5的概率，这个东西就叫做似然函数，可以说成是对某一个参数的猜想（p=0.5）的概率，这样表示成(条件)概率就是

L(pH=0.5|HH) = P(HH|pH=0.5) = （另一种写法）P(HH;pH=0.5).

为什么可以写成这样？我觉得可以这样来想：

似然函数本身也是一种概率，我们可以把L(pH=0.5|HH)写成P(pH=0.5|HH); 而根据贝叶斯公式，P(pH=0.5|HH) = P(pH=0.5,HH)/P(HH)；既然HH是已经发生的事件，理所当然P(HH) = 1,所以：

P(pH=0.5|HH)  = P(pH=0.5,HH) = P(HH;pH=0.5).

右边的这个计算我们很熟悉了，就是已知头朝上概率为0.5，求抛两次都是H的概率，即0.5*0.5=0.25。

所以，我们可以safely得到:

L(pH=0.5|HH) = P(HH|pH=0.5) = 0.25.

这个0.25的意思是，在已知抛出两个正面的情况下，pH = 0.5的概率等于0.25。

再算一下

L(pH=0.6|HH) = P(HH|pH=0.6) = 0.36.

把pH从0~1的取值所得到的似然函数的曲线画出来得到这样一张图：

可以发现，pH = 1的概率是最大的。

即L(pH = 1|HH) = 1。

那么最大似然概率的问题也就好理解了。

最大似然概率，就是在已知观测的数据的前提下，找到使得似然概率最大的参数值。

这就不难理解，在data mining领域，许多求参数的方法最终都归结为最大化似然概率的问题。

回到这个硬币的例子上来，在观测到HH的情况下，pH = 1是最合理的（却未必符合真实情况，因为数据量太少的缘故）。

 

 

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