【ZJSU - 大红大紫：ACM - Template】比赛用模板10：博弈论
作者：互联网
博弈论
巴什博奕
问题模板：
有 \(N\) 个石子，两名玩家轮流行动，按以下规则取石子：
规定：每人每次可以取走 \(X(1 \le X \le M)\) 个石子，拿到最后一颗石子的一方获胜。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
两名玩家轮流报数。
规定：第一个报数的人可以报 \(X(1 \le X \le M)\) ，后报数的人需要比前者所报数大 \(Y(1 \le Y \le M)\) ，率先报到 \(N\) 的人获胜。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论：
- \(N=K*(M+1)\) （其中 \(K \in \mathbb{N}^+\) ），后手必胜（后手可以控制每一回合结束时双方恰好取走 \(M+1\) 个，重复 \(K\) 轮后即胜利）；
- \(N=K*(M+1)+R\) （其中 \(K \in \mathbb{N}^+,0 < R < M + 1\) ），先手必胜（先手先取走 \(R\) 个，之后控制每一回合结束时双方恰好取走 \(M+1\) 个，重复 \(K\) 轮后即胜利）。
扩展巴什博弈
问题模板
有 \(N\) 颗石子，两名玩家轮流行动，按以下规则取石子：。
规定：每人每次可以取走 \(X(a \le X \le b)\) 个石子，如果最后剩余物品的数量小于 \(a\) 个，则不能再取，拿到最后一颗石子的一方获胜。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
- \(N = K*(a+b)\) 时，后手必胜；
- \(N = K*(a+b)+R_1\) （其中 \(K \in \mathbb{N}^+,0 < R_1 < a\) ） 时，后手必胜（这些数量不够再取一次，先手无法逆转局面）；
- \(N = K*(a+b)+R_2\) （其中 \(K \in \mathbb{N}^+,a \le R_2 \le b\) ） 时，先手必胜；
- \(N = K*(a+b)+R_3\) （其中 \(K \in \mathbb{N}^+,b < R_3 < a + b\) ） 时，先手必胜（这些数量不够再取一次，后手无法逆转局面）；
\(\tt{}NIM\) 博弈
问题模板
有 \(N\) 堆石子，给出每一堆的石子数量，两名玩家轮流行动，按以下规则取石子：
规定：每人每次任选一堆，取走正整数颗石子，拿到最后一颗石子的一方获胜（注：几个特点是不能跨堆、不能不拿）。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
记初始时各堆石子的数量 \((A_1,A_2, … ,A_n)\) ，定义尼姆和 \(Sum_N = A_1 \bigoplus A_2 \bigoplus … \bigoplus A_n\) 。
当 \(\pmb{ Sum_N = 0 }\) 时先手必败，反之先手必胜。
尼姆游戏具体取法
结论如下：
先计算出尼姆和，再对每一堆石子计算 \(A_i \bigoplus Sum_N\) ，记为 \(X_i\) 。
若得到的值 \(X_i<A_i\) ，\(X_i\) 即为一个可行解，即剩下 \(\pmb X_i\) 颗石头，取走 \(\pmb {A_i - X_i}\) 颗石头（这里取小于号是因为至少要取走 \(1\) 颗石子）。
\(\tt{} Moore’s\ Nim\) 游戏（\(\tt{}Nim - K\) 游戏）
问题模板
有 \(N\) 堆石子，给出每一堆的石子数量，两名玩家轮流行动，按以下规则取石子：
规定：每人每次任选不超过 \(K\) 堆，对每堆都取走不同的正整数颗石子，拿到最后一颗石子的一方获胜。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
把每一堆石子的石子数用二进制表示，定义 \(One_i\) 为二进制第 \(i\) 位上 \(1\) 的个数。
以下局面先手必胜：
对于每一位， \(\pmb{One_1,One_2,… ,One_N}\) 均不为 \(\pmb{K+1}\) 的倍数。
\(\tt{}Anti-Nim\) 游戏（反 \(\tt{}Nim\) 游戏）
问题模板
有 \(N\) 堆石子，给出每一堆的石子数量，两名玩家轮流行动，按以下规则取石子：
规定：每人每次任选一堆，取走正整数颗石子，拿到最后一颗石子的一方出局。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
- 所有堆的石头数量均不超过 \(1\) ，且 \(\pmb {Sum_N=0}\) （也可看作“且有偶数堆”）；
- 至少有一堆的石头数量大于 \(1\) ，且 \(\pmb{Sum_N \neq 0}\) 。
阶梯 - \(\tt{}NIM\) 博弈
模板
有 \(N\) 级台阶，每一级台阶上均有一定数量的石子，给出每一级石子的数量，两名玩家轮流行动，按以下规则操作石子：
规定：每人每次任选一级台阶，拿走正整数颗石子放到下一级台阶中，已经拿到地面上的石子不能再拿，拿到最后一颗石子的一方获胜。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
对奇数台阶做传统 \(\pmb{\tt{}Nim}\) 博弈，当 \(\pmb{Sum_N=0}\)** 时先手必败，反之先手必胜。**
\(\tt SG\) 游戏（有向图游戏）
我们使用以下几条规则来定义暴力求解的过程：
- 使用数字来表示输赢情况，\(0\) 代表局面必败，非 \(0\) 代表存在必胜可能，我们称这个数字为这个局面的SG值；
- 找到最终态，根据题意人为定义最终态的输赢情况；
- 对于非最终态的某个节点，其SG值为所有子节点的SG值取 \(\tt{}mex\) ；
- 单个游戏的输赢态即对应根节点的SG值是否为 \(0\) ，为 \(0\) 代表先手必败，非 \(0\) 代表先手必胜；
- 多个游戏的总SG值为单个游戏SG值的异或和。
使用哈希表，以 \(\mathcal{O} (N + M)\) 的复杂度计算。
int n, m, a[N], num[N];
int sg(int x) {
if (num[x] != -1) return num[x];
unordered_set<int> S;
for (int i = 1; i <= m; ++ i)
if(x >= a[i])
S.insert(sg(x - a[i]));
for (int i = 0; ; ++ i)
if (S.count(i) == 0)
return num[x] = i;
}
void Solve() {
cin >> m;
for (int i = 1; i <= m; ++ i) cin >> a[i];
cin >> n;
int ans = 0; memset(num, -1, sizeof num);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
int x; cin >> x;
ans ^= sg(x);
}
if (ans == 0) no;
else yes;
}
\(\tt Anti-SG\) 游戏（反 \(\tt SG\) 游戏）
\(\tt SG\) 游戏中最先不能行动的一方获胜。
结论
以下局面先手必胜：
- 单局游戏的SG值均不超过 \(\pmb 1\) ，且总SG值为 \(\pmb 0\)；
- 至少有一局单局游戏的SG值大于 \(\pmb 1\) ，且总SG值不为 \(\pmb 0\) 。
在本质上，这与 \(\tt Anti-Nim\) 游戏的结论一致。
\(\tt{}Lasker’s-Nim\) 游戏（\(\tt Multi-SG\) 游戏）
模板
有 \(N\) 堆石子，给出每一堆的石子数量，两名玩家轮流行动，每人每次任选以下规定的一种操作石子：
- 任选一堆，取走正整数颗石子；
- 任选数量大于 \(2\) 的一堆，分成两堆非空石子。
拿到最后一颗石子的一方获胜。双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
本题使用SG函数求解，SG值定义为：
\[\pmb{ SG(x) = \begin{cases} x-1 & \text{ , } x\mod 4= 0\\ x & \text{ , } x \mod 4 = 1\\ x & \text{ , } x \mod 4 = 2\\ x+1 & \text{ , } x \mod 4 = 3 \end{cases}}\]\(\tt{}Every-SG\) 游戏
模板
给出一个有向无环图，其中 \(K\) 个顶点上放置了石子，两名玩家轮流行动，按以下规则操作石子：
移动图上所有还能够移动的石子；
无法移动石子的一方出局。双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
定义 \(step\) 为某一局游戏至多需要经过的回合数。
以下局面先手必胜：\(\pmb{step}\) 为奇数 。
威佐夫博弈
模板
有两堆石子，给出每一堆的石子数量，两名玩家轮流行动，每人每次任选以下规定的一种操作石子：
- 任选一堆，取走正整数颗石子；
- 从两队中同时取走正整数颗石子。
拿到最后一颗石子的一方获胜。双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
以下局面先手必败：
\(\pmb{ (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), …}\) 具体而言，每一对的第一个数为此前没出现过的最小整数，第二个数为第一个数加上 \(\pmb{1,2,3,4,…}\) 。
更一般地，对于第 \(\pmb k\) 对数，第一个数为 \(\pmb {First_k= \left \lfloor \frac{k*(1+\sqrt 5)}{2} \right \rfloor}\) ，第二个数为 \(\pmb{Second_k=First_k+k}\) 。
其中，在两堆石子的数量均大于 \(10^9\) 次时，由于需要使用高精度计算，我们需要人为定义 \(\frac{1+\sqrt 5}{2}\) 的取值为 \(lorry = 1.618033988749894848204586834\) 。
const double lorry = (sqrt(5.0) + 1.0) / 2.0;
//const double lorry = 1.618033988749894848204586834;
void Solve() {
int n, m; cin >> n >> m;
if (n < m) swap(n, m);
double x = n - m;
if ((int)(lorry * x) == m) cout << "lose\n";
else cout << "win\n";
}
斐波那契博弈
模板
有一堆石子，数量为 \(N\) ，两名玩家轮流行动，按以下规则取石子：
先手第1次可以取任意多颗，但不能全部取完，此后每人取的石子数不能超过上个人的两倍，拿到最后一颗石子的一方获胜。
双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
当且仅当 \(N\) 为斐波那契数时先手必败。
int fib[100] = {1, 2};
map<int, bool> mp;
void Force() {
for (int i = 2; i <= 86; ++ i) fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
for (int i = 0; i <= 86; ++ i) mp[fib[i]] = 1;
}
void Solve() {
int n; cin >> n;
if (mp[n] == 1) cout << "lose\n";
else cout << "win\n";
}
树上删边游戏
模板
给出一棵 \(N\) 个节点的有根树，两名玩家轮流行动，按以下规则操作：
选择任意一棵子树并删除（删去任意一条边，不与根相连的部分会同步被删去）；
删掉最后一棵子树的一方获胜。双方均采用最优策略，询问谁会获胜。
结论
相较于传统SG值的定义，本题的SG函数值定义为：
- 叶子节点的SG值为 \(\pmb 0\) 。
- 非叶子节点的SG值为其所有孩子节点SG值 \(\pmb + 1\) 的异或和。
标签：10,游戏,大红大紫,tt,石子,ZJSU,pmb,获胜,SG 来源： https://www.cnblogs.com/WIDA/p/16676294.html