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2.2.1　直线的点斜式方程

作者：互联网

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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

直线的点斜式方程

若直线的斜率为\(k\)，且过定点\(P(x_0,y_0)\)，则直线方程为\(y-y_0=k(x-x_0)\)，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
解释
① 点斜式告诉我们：给定一点和斜率便可唯一确定一条直线，确定其方程.
当倾斜角为\(0°\)时，\(k=tan0°=0\)，方程为\(y=y_0\);
image.png
当倾斜角为\(90°\)时，斜率不存在，不能用点斜式表示，方程为\(x=x_0\);
image.png
② 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标\(x\)，纵坐标\(y\)所满足的关系式；
③ 证明 ：直线\(l\)经过点\(P(x_0,y_0)\)，且斜率为\(k\)，设\(P(x,y)\)是直线\(l\)上不同于点\(P_0\)的任意一点，因为直线\(l\)的斜率为\(k\)，由斜率公式可得 \(k=\dfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}\)，即\(y-y_0=k(x-x_0)\).
image.png
因此显然可得直线\(l\)上每一点的坐标\((x,y)\)都满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\).
反过来呢？坐标满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\)的每个点都在直线\(l\)上.
事实上，若点\(P_1 (x_1,y_1)\)的坐标\(x_1\),\(y_1\)满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，即\(y_1-y_0=k(x_1-x_0 )\)
当\(x_1=x_0\)时，点\(P_1\)与\(P_0\)重合，显然点\(P_1\)在直线\(l\)上；
当\(x_1≠x_0\)时，有 \(k=\dfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}\)，这说明过点\(P_1\)，\(P_0\)的直线\(l_1\)的斜率为\(k\)，
因为直线\(l\),\(l_1\)的斜率均为\(k\)，且都过点\(P_0\)，所以它们重合，所以点\(P_1\)在直线\(l\)上.
故坐标满足关系式\(y-y_0=k(x-x_0)\)的每个点都在直线\(l\)上.
 

【例】 求经过点\(P(1,-2)\)，倾斜角为\(45°\)的直线方程.
解析 \(k=tan45°=1\)，则直线方程为\(y-(-2)=1×(x-1)\)，即\(y=x-3\).
 

直线的斜截式方程

我们把方程\(y=kx+b\)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中\(k\)为直线斜率，\(b\)为直线在\(y\)轴上的截距.
解释
① 截距是一个数值，不是距离；
② 对于直线\(l_1:y=k_1 x+b_1\)，\(l_2:y=k_2 x+b_2\)，
\(l_1//l_2⇔k_1=k_2\)且\(b_1≠b_2\)；\(l_1⊥l_2⇔k_1 k_2=-1\).
 

【例1】 已知直线在\(y\)轴上的截距为\(-3\)，且斜率为\(2\)，求直线的截距式方程.
解析 \(k=2\)，\(b=-3\)，则直线的截距式方程\(y=2x-3\).
 

【例2】 判断直线的位置关系
(1)\(l_1:y=4x+3\),\(l_2:y=4x-2\)； (2) \(l_{1}: y=\dfrac{5}{2} x\), \(l_{2}: y=-\dfrac{2}{5} x\).
解析 (1)平行 (2)垂直
 

对称性问题

1 点关于点的对称
点\(P(x_0 ,y_0)\)关于\(A(a ,b)\)的对称点为\(P'(2a-x_0 ,2b-y_0)\)；
 
2 点关于直线的对称
设点\(P(x_0 ,y_0)\)关于直线\(l：y=kx+b\)的对称点为\(P'(x' ,y')\)，
则有 \(\left\{\begin{array}{c} \dfrac{y^{\prime}-y_{0}}{x^{\prime}-x_{0}} \cdot k=-1 \\ \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}=k \cdot \dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}+b \end{array}\right.\)可求出\(x'\) ,\(y'\)，从而得到点\(P'\).
image.png
(直线\(l\)是线段\(PP'\)的垂直平分线，则 \(k_{PP'} \cdot k =-1\)，\(PP'\)的中点 \(\left(\dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}, \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}\right)\)在直线\(l\)上)
 

【例】 原点关于 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)的对称点的坐标为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 设原点关于 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)的对称点的坐标为\((a,b)\)，
则 \(\dfrac{b}{a} \times \dfrac{1}{2}=-1\)， \(\dfrac{a}{2}-2 \times \dfrac{b}{2}+1=0\)，联立解得 \(a=-\dfrac{2}{5}\), \(b=\dfrac{4}{5}\)．
\(∴\)要求的点 \(\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)．
 

基本方法

【题型1】直线的点斜式与斜截式

【典题1】 求满足下列条件的直线方程：
  (1)经过点\((2,-3)\)，倾斜角是直线 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x\)倾斜角的\(2\)倍；
  (2)过\(P(-2,3)\)，\(Q(5,-4)\)两点；
解析 (1)\(∵\)直线 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x\)的斜率为 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)，\(∴\)倾斜角为\(30°\)．
\(∴\)所求直线的倾斜角为\(60°\)，其斜率为 \(\sqrt{3}\)．
\(∴\)所求直线方程为\(y+3=\sqrt{3}(x-2)\)，即\(\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}-3=0\)．
(2)过点\(P(-2,3)\)，\(Q(5,-4)\)两点的直线斜率 \(k_{P Q}=\dfrac{-4-3}{5-(-2)}=\dfrac{-7}{7}=-1\)．
又\(∵\)直线过点\(P(-2,3)\)，
\(∴\)由直线方程的点斜式可得直线方程为\(y-3=-(x+2)\)，
即\(y=-x+1\)．
 

【典题2】求满足下列条件的直线方程：
  (1)经过点\((1,-2)\)且与直线\(y=3x-5\)垂直；
  (2)与直线\(y=-2x+3\)平行，过直线\(y=4x-2\)在\(y\)轴上的点．
解析 (1)因为直线\(y=3x-5\)的斜率为\(3\)，且所求直线与该直线垂直，
所以所求直线斜率为 \(-\dfrac{1}{3}\)，
又直线过点\((1,-2)\)，
所以直线方程为 \(y+2=-\dfrac{1}{3}(x-1)\)，即 \(y=-\dfrac{1}{3} x-\dfrac{5}{3}\)．
(2)直线\(y=-2x+3\)的斜率为\(-2\)，直线\(y=4x-2\)在\(y\)轴上的点为\((0,-2)\)．
由直线方程的斜截式得\(y=-2x-2\)．
 

巩固练习

1.已知直线\(l\)的方程是\(y+2=-(x+1)\)，则(　　)
 A．直线\(l\)经过点\((-1,2)\)，斜率为\(-1\) \(\qquad \qquad\) B．直线\(l\)经过点\((2,-1)\)，斜率为\(-1\)
 C．直线\(l\)经过点\((-1,-2)\)，斜率为\(-1\) \(\qquad \qquad\) D．直线\(l\)经过点\((-2,-1)\)，斜率为\(1\)
 

2.已知直线\(l\)的倾斜角为\(30°\)，在\(y\)轴上的截距为\(-2\)，则直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

3.已知点\(A(3,3)\)和直线\(l\)的斜率 \(k=\dfrac{3}{4}\)．求：
 (1)过点\(A\)且与直线\(l\)平行的直线方程\(l_1\)；
 (2)过点\(A\)且与直线\(l\)垂直的直线方程\(l_2\)．
 

4.已知直线\(l\)的斜率为\(－1\)，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 \(\dfrac{1}{2}\)，求直线\(l\)的方程．
 

参考答案

  1. 答案 \(C\)
  2. 答案 \(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3} x-2\)
    解析 \(y=\tan 30^{\circ} x-2=\dfrac{\sqrt{3}}{3} x-2\).
  3. 答案 (1) \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{3}{4}\) (2) \(y=-\dfrac{4}{3} x+7\)
    解析 \(∵k=\dfrac{3}{4}\)，\(∴\)过点\(A\)且与直线\(l\)平 行的直线的斜率为 \(k_1=\dfrac{3}{4}\)．
    过点\(A\)且与直线\(l\)垂直的直线的斜率为 \(k_{2}=-\dfrac{4}{3}\)．
    \(∴\)(1)直线\(l_1\)的方程为 \(y-3=\dfrac{3}{4}(x-3)\)，即 \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{3}{4}\)．
    (2)直线\(l_2\)的方程为 \(y-3=-\dfrac{4}{3}(x-3)\)，即 \(y=-\dfrac{4}{3} x+7\)．
  4. 答案 \(y=-x+1\)或\(y=-x-1\)
    解析 设l的方程为\(y=-x+b\)，
    则它与两个坐标轴的交点为\(A(b,0)\)和\(B(0,b)\)，
    所以直角三角形\(OA B\)的两个直角边长都为\(|b|\)，
    所以其面积为 \(\dfrac{1}{2} b^{2}\)，由 \(\dfrac{1}{2} b^{2}=\dfrac{1}{2}\)，解得\(b=±1\)，
    所以所求直线的方程为\(y=-x+1\)或\(y=-x-1\)．
     

【题型2】对称性问题

【典题1】 已知点\(A(1,3)\)，\(B(－5,1)\)，直线\(L\)关于\(A\)、\(B\)对称，则\(L\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由题意，即求\(AB\)的垂直平分线方程，
\(AB\)的中点坐标为\((－2,2)\)，\(AB\)的斜率为 \(\dfrac{1-3}{-5-1}=\dfrac{1}{3}\)，
\(∴L\)的方程是\(y－2=－3(x+2)\)，即\(3x+y+4=0\)，
 

【典题2】 已知直线\(y=2x\)是\(△ABC\)中\(∠C\)的平分线所在的直线，若点\(A\)、\(B\)的坐标分别是\((-4 ,2)\)，\((3 ,1)\)，则点\(C\)的坐标为 \(\underline{\quad \quad}\).
解析 (直线\(y=2x\)是角平分线，意味直线\(AC\)与\(BC\)关于\(y=2x\)对称)
image.png
设\(A(-4 ,2)\)关于直线\(y=2x\)的对称点为\(A'(x ,y)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{y-2}{x+4} \times 2=-1 \\ \dfrac{y+2}{2}=2 \times \dfrac{-4+x}{2} \end{array}\right.\)()，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=4 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，即\(A'(4 ,-2)\)．
(这是点关于直线对称的问题，理解到直线\(y=2x\)是\(AA'\)的垂直平分线易得()式)
\(∴\)直线\(BA'\)方程为 \(y-1=\dfrac{-2-1}{4-3}(x-3)=-3(x-3)\)，
化为\(3x+y-10=0\)．(点\(A'\)在直线\(BC\)上)
联立 \(\left\{\begin{array}{l} 3 x+y-10=0 \\ y=2 x \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=4 \end{array}\right.\)，可得\(C(2 ,4)\)．
(对称轴\(y=2x\)与直线\(BC\)的交点就是点\(C\))
 

巩固练习

1.点\(M(2，-1)\)关于直线\(l：y=2x+1\)的对称点\(N\)的坐标是\(\underline{\quad \quad}\).
 

2.已知\(△ABC\)的顶点\(A(1,2)\)，\(AB\)边上的中线\(CM\)所在的直线方程为\(x+2y－1=0\)，\(∠ABC\)的平分线\(BH\)所在直线方程为\(y=x\)，则直线\(BC\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

3.过点 \(A(\sqrt{3}, 1)\)的直线 \(l_{1}: \sqrt{3} x+a y-2=0\)与过点 \(B(\sqrt{3}, 4)\)的直线\(l_2\)交于点\(C\)，若\(△ABC\)是以\(AB\)为底边的等腰三角形，则\(l_2\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

参考答案

  1. 答案 \(\left(-\dfrac{14}{5}, \dfrac{7}{5}\right)\)
    解析 设\(N(x，y)\)，则由 \(\dfrac{y+1}{x-2} \times 2=-1\)且 \(\dfrac{y-1}{2}=2 \dfrac{x+2}{2}+1\)，解得 \(N\left(-\dfrac{14}{5}, \dfrac{7}{5}\right)\)．

  2. 答案 \(y=\dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}\)
    解析 由题意可知，点\(B\)在角平分线\(y=x\)上，可设点\(B\)的坐标是\((m,m)\)，
    则\(AB\)的中点 \(\left(\dfrac{m+1}{2}, \dfrac{m+2}{2}\right)\)在直线\(CM\)上， \(\therefore \dfrac{m+1}{2}+2 \cdot \dfrac{m+2}{2}-1=0\)，
    解得：\(m=－1\)，故点\(B(－1,－1)\)．
    设\(A\)关于\(y=x\)的对称点为\(A'(x_0,y_0)\)，
    则有 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{y_{0}-2}{x_{0}-1}=-1 \\ \dfrac{y_{0}+2}{2}=\dfrac{x_{0}+1}{2} \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x_{0}=2 \\ y_{0}=1 \end{array}\right.\)，
    即\(A'(2,1)\)
    则由\(A'\)在直线\(BC\)上，可得\(BC\)的方程为 \(y=\dfrac{2}{3} x-\dfrac{1}{3}\).

  3. 答案 \(y=-\sqrt{3} x+7\)
    解析 过点\(A(\sqrt{3},1)\)的直线\(l_1：\sqrt{3} x+ay-2=0\)，
    \(∴\sqrt{3}⋅\sqrt{3}+a－2=0\)，解得\(a=－1\)；
    \(∴\)直线\(l_1\)的方程为\(\sqrt{3}x－y－2=0\)；
    \(l_1\)与过点\(B(\sqrt{3},4)\)的直线\(l_2\)交于点\(C\)，且\(△ABC\)是以\(AB\)为底边的等腰三角形，
    如图所示；
    image.png
    则\(l_1\)与\(l_2\)关于直线 \(y=\dfrac{5}{2}\)对称，\(∴\)点 \(C\left(\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}, \dfrac{5}{2}\right)\)；
    \(∴\)直线\(l_2\)的斜率为 \(k=\dfrac{\dfrac{5}{2}-4}{\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}\)，直线方程为 \(y-4=-\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\)，
    即 \(y=-\sqrt{3} x+7\)．
    故答案为： \(y=-\sqrt{3} x+7\)．

分层练习

【A组---基础题】

1.无论\(k\)取何值，直线\(y-2=k(x+1)\)所过的定点是(　　)
 A．\((1,2 )\) \(\qquad \qquad\) B．\((-1,2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((－1,－2)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,-2)\)
 

2.直线\(y=\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\)的斜率与\(y\)轴上的截距分别是(　　)
 A．\(\sqrt{3},\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\sqrt{3},-3\) \(\qquad \qquad\) C．\(\sqrt{3},3\) \(\qquad \qquad\) D．\(-\sqrt{3},-3\)
 

3.已知点\(P(3,4)\)．过点\(P\)且斜率为\(2\)的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\)；过点\(P\)且倾斜角为\(150°\)的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\) ；过点\(P\)且与\(x\)轴平行的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\) ；过点\(P\)且与\(x\)轴垂直的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

4.过点\(A(2,4)\)，\(B(-2,8)\)的直线方程是 .
 

5.经过点\(A(3,2)\)，且与直线 \(y=-\dfrac{2}{3} x+\dfrac{16}{3}\)垂直的直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

6.已知直线\(l_1：y=-2x-2\)与 \(l_{2}: y=-\dfrac{4 x}{b}-\dfrac{c}{b}\)关于点\(P(1,0)\)对称，则\(b+c=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
 

7.如图，矩形\(ABCD\)中\(AB\)边与\(x\)轴重合，\(C(2,2)\),\(D(－1,2)\)．从原点\(O\)射出的光线\(OP\)经\(BC\)反射到\(CD\)上，再经\(CD\)反射到\(AD\)上点\(Q\)处．
(1)若\(OP\)的斜率为 \(\dfrac{1}{2}\)，则点\(Q\)的坐标为\(\underline{\quad \quad}\)；
(2)若点\(Q\)恰为线段\(AD\)中点，则\(OP\)的斜率为\(\underline{\quad \quad}\)．
image.png
 
 

8.一束光线从原点\(O(0,0)\)出发，经过直线 \(l:-\dfrac{4}{3} x+\dfrac{25}{6}\)反射后通过点\(P(－4,3)\)，求反射光线的方程．
 
 

参考答案

  1. 答案 \(B\)
  2. 答案 \(B\)
  3. 答案 \(y=2x-2\);\(x+\sqrt{3} y-4\sqrt{3}-3=0\);　\(y=4\);\(x=3\)
  4. 答案 \(y=-x+6\)
    解析 直线斜率 \(k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1\)，
    则所求直线方程为\(y-4=-(x-2)\)，即\(y=-x+6\).
  5. 答案 \(y=\dfrac{3}{2} x -\dfrac{5}{2}\)
    解析 与直线 \(y=-\dfrac{2}{3} x+\dfrac{16}{3}\)垂直的直线\(l\)的方程为 \(y=\dfrac{3}{2} x+c\)，
    又经过点\(A(3,2)\)，则 \(2=\dfrac{9}{2}+c\)，即 \(c=-\dfrac{5}{2}\)，即直线方程为 \(y=\dfrac{3}{2} x -\dfrac{5}{2}\).
  6. 答案 \(－10\)
    解析 在直线\(l_1：y=-2x-2\)上取点\(M(－1,0)\),\(N(0,－2)\)
    \(M,N\)关于点\(P(1,0)\)对称的点分别为\(M_1 (3,0)\),\(N_1 (2,2)\)
    点\(M_1 (3,0)\),\(N_1 (2,2)\)必在直线 \(l_{2}: y=-\dfrac{4 x}{b}-\dfrac{c}{b}\)上，
    \(\therefore-\dfrac{12}{b}-\dfrac{c}{b}=0\), \(-\dfrac{8}{b}-\dfrac{c}{b}=2\)，解得\(b=2\)，\(c=-12\)
    \(∴b+c=－10\)，
    故答案为：\(－10\)．
  7. 答案 (1) \(\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\) (2) \(\dfrac{3}{5}\)
    解析 (1)根据\(OP\)的斜率为 \(\dfrac{1}{2}\)，可得\(P(2,1)\)在\(BC\)中点上，
    那么反射必经过\(DC\)与 \(y\)轴的交点，
    即坐标为\((0,2)\)，设点\(Q\)的坐标\((－1,t)\)
    那么 \(\dfrac{2-t}{0-(-1)}=\dfrac{1}{2}\)，解得： \(t=\dfrac{3}{2}\)
    即点\(Q\)的坐标 \(\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\).
    (2)由题意，设\(P(2,n)\)，反射线与\(DC\)交点\(E\)为\((m,2)\)；入射角和反射角相等，
    可得 \(\dfrac{n}{2}=\dfrac{2-n}{2-m}\)⋯⋯①
    \(OP\)的斜率等于\(QE\)斜率；即 \(\dfrac{n}{2}=\dfrac{2-1}{m+1}\)⋯⋯②
    由①②解得： \(n=\dfrac{6}{5}\)
    则\(OP\)的斜率为 \(\dfrac{3}{5}\).
  8. 答案 \(y=3\)
    解析 如图所示，设原点关于直线\(l\)的对称点\(A\)的坐标为\((a,b)\)，
    由直线\(AO\)与\(l\)垂直和线段\(AO\)的中点在\(l\)上得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{b}{a} \cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1 \\ \dfrac{b}{2}=-\dfrac{4}{3} \times \dfrac{a}{2}+\dfrac{25}{6} \end{array}\right.\)，
    解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=4 \\ b=3 \end{array}\right.\)，\(∴A\)的坐标为\((4,3)\)．
    image.png
    \(∵\)反射光线的反向延长线过\(A(4,3)\)，
    又由反射光线过\(P(-4,3)\)，
    \(∴\)两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为\(y=3\)．
     

【B组---提高题】

1.已知直线\(l_1：y=2x+1\)，直线\(l_2\)与\(l_1\)关于直线\(y=－x\)对称，则直线\(l_2\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\).
 

2.在平面直角坐标系\(xOy\)中，将直线\(l\)沿x轴正方向平移\(3\)个单位，沿\(y\)轴正方向平移\(5\)个单位，得到直线\(l_1\)．再将直线\(l_1\)沿\(x\)轴正方向平移\(1\)个单位，沿\(y\)轴负方向平移\(2\)个单位，又与直线\(l\)重合．若直线\(l\)与直线\(l_1\)关于点\((2,3)\)对称，则直线\(l\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

参考答案

  1. 答案 \(y=\dfrac{1}{2}(x+1)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)
    解析 由 \(\left\{\begin{array}{l} y=2 x+1 \\ y=-x \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{1}{3} \\ y=\dfrac{1}{3} \end{array}\right.\)，
    即有\(l_1\)和直线\(y=-x\)的交点\(A\)为 \(\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)\)，
    再在\(l_1\)上取一点\(C(0,1)\)，则点\(C\)关于直线\(y=－x\)的对称点\(B(m,n)\)，
    则有 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{n-1}{m-0}=1 \\ \dfrac{n+1}{2}=-\dfrac{m}{2} \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} m=-1 \\ n=0 \end{array}\right.\)，
    故点\(B(－1,0)\)，
    故\(AB\)的斜率为 \(k_{A B}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{1}{3}+1}=\dfrac{1}{2}\)，
    由点斜式求得直线\(l_1\)关于直线\(y=－x\)的对称的直线\(AB\)
    即直线\(l_2\)的方程为： \(y=\dfrac{1}{2}(x+1)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)．
  2. 答案 \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{8}\)．
    解析 设直线\(l\)的方程为：\(y=kx+b\)，将直线\(l\)沿\(x\)轴正方向平移\(3\)个单位，
    沿\(y\)轴正方向平移\(5\)个单位，
    得到直线\(l_1：y=k(x－3)+5+b\)，化为\(y=kx+b+5－3k\)，
    再将直线\(l_1\)沿\(x\)轴正方向平移\(1\)个单位，沿\(y\)轴负方向平移\(2\)个单位，
    \(y=k(x－3－1)+b+5－2\)，化为\(y=kx+3－4k+b\)．
    又与直线\(l\)重合．
    \(∴b=3－4k+b\)，解得 \(k=\dfrac{3}{4}\)．
    \(∴\)直线\(l\)的方程为： \(y=\dfrac{3}{4} x+b\)，直线\(l_1\)为：\(y=3/4 x+11/4+b\)，
    设直线\(l\)上的一点 \(P\left(m, b+\dfrac{3 m}{4}\right)\)，
    则点\(P\)关于点\((2,3)\)的对称点 \(P^{\prime}\left(4-m, 6-b-\dfrac{3}{4} m\right)\)，
    \(\therefore 6-b-\dfrac{3}{4} m=\dfrac{3}{4}(4-m)+b+\dfrac{11}{4}\)，解得 \(b=\dfrac{1}{8}\)．
    \(∴\)直线\(l\)的方程是 \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{8}\)．
    故答案为： \(y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{8}\)．
     

【C组---拓展题】

1.如图已知\(A(4,0)\)、\(B(0,4)\)、\(O(0,0)\)，若光线\(L\)从点\(P(2,0)\)射出，直线\(AB\)反射后到直线\(OB\)上，在经直线\(OB\)反射回原点\(P\)，则光线\(L\)所在的直线方程为\(\underline{\quad \quad}\).
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参考答案

  1. 答案 \(y=3x－6\)
    解析 由题意知直线\(AB\)的方程为\(y=－x+4\)，
    设光线分别射在\(AB\)、\(OB\)上的\(M\)、\(N\)处，
    (本题就是求直线\(PM\)方程，只要求出点\(M\)便可)
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    由于光线从点\(P\)经两次反射后又回到\(P\)点，
    根据反射规律，则\(∠PMA=∠BMN\)；\(∠PNO=∠BNM\)．
    (反射问题，当然想到入射角相等，它的数学本质是对称问题)
    作出点\(P\)关于\(OB\)的对称点\(P_1\)，作出点\(P\)关于\(AB\)的对称点\(P_2\)，
    则\(∠P_2 MA=∠PMA=∠BMN\)，\(∠P_1 NO=∠PNO=∠BNM\)，
    \(∴P_1,N,M,P_2\)共线，
    (通过平几知识得到四点共线)
    易得点\(P\)关于\(y\)轴的对称点\(P_1 (－2,0)\)，
    \(∵OA=OB=4\),
    \(∴∠P_2 AB=∠PAB=45°\)，\(∴P_2 A⊥OA\)，\(∴P_2\)的横坐标为\(4\)，
    由对称性可知\(P_2 A=PA=2\)，可得\(P_2\)的纵坐标为\(2\)，
    \(∴P_2 (4,2)\),
    (求\(P_2\)的坐标常规方法是点关于直线对称的套路，但有时通过细致的观察，不走寻常路更容易得到你想要的，要善于思考、观察)
    \(∴\)直线 \(P P_{2}: \dfrac{y}{x+2}=\dfrac{2}{4+2}\)，即\(x－3y+2=0\)，
    联立 \(\left\{\begin{array}{l} x-3 y+2=0 \\ x+y-4=0 \end{array}\right.\)，得 \(x=\dfrac{5}{2}, y=\dfrac{3}{2}\) ，则 \(M\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\)，
    \(∴\)直线 \(P M: y=3x－6\)，即光线\(L\)所在的直线方程为\(y=3x－6\)．

标签：直线,方程,dfrac,斜式,sqrt,斜率,quad,2.2
来源： https://www.cnblogs.com/zhgmaths/p/16655125.html