结论

先说结论
对于组合数\(C^k_n\)，若n&k==k，则其为奇数，否则，其为偶数。

证明

\(C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
我们用a表示n!中因子2的个数
b表示k！中因子2的个数
c表示(n-k)！中因子2的个数
显然有\(a\ge b+c\)(因为\(C^k_n\)一定为整数)，如果a==b+c，那么\(C^k_n\)一定为奇数，若a>b+c\(，C^k_n\)为偶数

而n!中因子p(p为质因数)的个数为\([\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+[\frac{n}{p^3}]...\)
[]表示向下取整。

假设n=13，p=2
13/2=6，那么2，4，6，8，10，12共6个数能提供1个因子2
13/4=3，那么4，8，12，共3个数能提供2个因子2
13/8=1，那么8能提供3个因子2
13/16=0
6+3+1=10即可得到13!中因子2的个数

假设\(n=2^m\)，及n为2的幂次方，那么n!中因子2的个数为\([\frac{2^m}{2}]+[\frac{2^m}{2^2}]+...\)
上式是一个等比数列，求和的结果为\(2^m-1=n-1\)

再来看当\(n!=2^m\)那么可以将n拆成2的幂次方之和(二进制)，\(n=2^{x_1}+2^{x_2}+...\)
将上式带入即 \([\frac{2^{x_1}+2^{x_2}+...}{2}]+[\frac{2^{x_1}+2^{x_2}+...}{2^2}]+...=[\frac{2^{x_1}}{2}]+[\frac{2^{x_1}}{2^2}]+...+[\frac{2^{x_2}}{2}]+[\frac{2^{x_2}}{2^2}]...=2^{x_1}-1+2^{x_2}-1...=n-cnt\)
cnt表示n中二进制为1的个数

那么现在，若n&k==k，即k中二进制为1的位在n中也为1，现在令cnt(x)表示x中二进制为1的位数，则有cnt(n-k)=cnt(n)-cnt(k)，带入上面推出来的结论就有\(a==b+c\)
反之，若n&k!=k，则\(cnt(n-k)!=cnt(n)-cnt(k)\)(这里还没想到好的证明方法，反正由于借位二进制为1的个数肯定会发生变化，那么就不相等了)，即\(a!=b+c\)

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来源： https://www.cnblogs.com/hetailang/p/16632644.html