重修 最小斯坦纳树
作者：互联网
最小斯坦纳树，就是在一个无向连通图要花费最小的代价（边权和），连通给定的 \(k\) 个关键点（一般 \(k\le 10\)），这是一个组合优化问题。
这个问题可以用状压 DP 来解决，首先容易发现一个结论：
答案一定是树。你猜为啥叫最小斯坦纳树。
证明：如果答案存在环，则删去环上任意一条边，代价变小。
于是我们为这棵树钦定一个树根，设 \(f(S,i)\) 表示以 \(i\) 为根的一棵树，包含集合 \(S\) 中所有点的最小代价（只考虑关键点，即 \(S\) 是关键点集合的子集）。
考虑如何不重不漏地转移。
一棵以 \(i\) 为根的树有两种情况，第一种是 \(i\) 的 \(deg=1\)，另一种是 \(deg>1\)。
对于 \(deg=1\) 的情况，可以考虑枚举树上与 \(i\) 相邻的点 \(j\)，则：
\[f(S,j)+w(i,j)\to f(S,i)\quad(A) \]对于 \(deg>1\) 的情况，可以划分成几个子树考虑，即：
\[f(T,i)+f(S-T,i)\to f(S,i)\quad(T\subsetneq S\land T\ne \varnothing)\quad(B) \]这里的转移顺序是有讲究的，这可以理解成一个类似背包的 DP，按 \(S\)（二进制形态）升序枚举即可。
这两种转移具体如何实现呢？对于 \((B)\) 式较为简单，枚举子集即可，时间复杂度为 \(O(3^k n)\)。
对于 \((A)\) 式，可以想到最短路的松弛。所以在 \((B)\) 式枚举子集后，在同一个 \(S\) 中 \(n\) 个点跑 dij 即可，这部分时间复杂度为 \(O(2^km\log m)\)。
所以总时间复杂度为 \(O(3^kn+2^km\log m)\)。
//We'll be counting stars.
//#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir first
#define sec second
#define mkp make_pair
#define pb emplace_back
#define For(i,j,k) for(int i=(j),i##_=(k);i<=i##_;i++)
#define Rof(i,j,k) for(int i=(j),i##_=(k);i>=i##_;i--)
#define ckmx(a,b) a=max(a,b)
#define ckmn(a,b) a=min(a,b)
#define debug(...) cerr<<"#"<<__LINE__<<": "<<__VA_ARGS__<<endl
#define N 101
#define V (1<<10)
#define pi pair<int,int>
const int inf=1e9;
int n,m,k,S,f[V][N];
vector<pi> e[N];
priority_queue<pi> q;
bool vis[N];
void dij(int *dis){
fill(vis+1,vis+1+n,false);
int x;
while(!q.empty()){
x=q.top().sec;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=true;
for(auto i:e[x]){
if(dis[i.fir]>dis[x]+i.sec){
dis[i.fir]=dis[x]+i.sec;
q.push(mkp(-dis[i.fir],i.fir));
}
}
}
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr);
cin>>n>>m>>k;
S=1<<k;
int x,y,z;
For(i,1,m){
cin>>x>>y>>z;
e[x].pb(mkp(y,z));
e[y].pb(mkp(x,z));
}
For(i,1,S-1) fill(f[i]+1,f[i]+1+n,inf);
For(i,1,k){
cin>>x;
f[1<<(i-1)][x]=0;
}//dont change x after this (x for a representative)
For(s,1,S-1){
For(i,1,n){//f(S,i)<-f(T,i)+f(S^T,i) (T|S=S)
for(int ss=s&(s-1);ss;ss=s&(ss-1))
ckmn(f[s][i],f[ss][i]+f[s^ss][i]);
if(f[s][i]<inf) q.push(mkp(-f[s][i],i));
}
dij(f[s]);//f(S,i)<-f(S,j)+w(i,j)
}
cout<<f[S-1][x]<<endl;
return 0;}
标签：fir,vis,int,重修,最小,斯坦纳,define,dis 来源： https://www.cnblogs.com/shaojia/p/16595220.html