有向图计数与 GGF / 2022.8.10 闲话 II
作者：互联网
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- DAG 计数 .
- 强连通图计数 .
定义序列 \(\{a_n\}\) 的图论生成函数（GGF）为
\[\mathbf A(z)=\sum_{n}\dfrac{a_n}{2^{\binom j2}}\dfrac{z^n}{n!} \]（按理来说应该是二元的 \(\mathbf A(z,w)\)，但是应用全是 \(w=1\) 就省了）
下面所有 EGF 是大写 Roman 体（\(\TeX\) 中 \mathrm），所有 GGF 是大写粗体（\(\TeX\) 中 \mathbf），所有序列是小写斜体（\(\TeX\) 中 \mathit），对于同一个大小写不敏感的字母，EGF，GGF 和序列相对应 .
探讨一下 GGF 卷积，令 \(\mathbf C(z)=\mathbf A(z)\mathbf B(z)\)，则：
\[\begin{aligned}c_n&=[z^n]\mathbf C(z)\\&=2^{\binom n2}n!\cdot [z^n]\left(\sum_{n}\dfrac{a_n}{2^{\binom j2}}\dfrac{z^n}{n!}\right)\left(\sum_{n}\dfrac{b_n}{2^{\binom j2}}\dfrac{z^n}{n!}\right)\\&=\sum_{i+j=n}\binom ni2^{ij}a_ib_j\end{aligned} \]对应到组合意义，则相当于对 \(\{a\}\)，\(\{b\}\) 对应的族 \(\mathcal A\)，\(\mathcal B\)，从 \(\mathcal A\) 中选 \(i\) 个点，\(\mathcal B\) 中选 \(j\) 个点，给它们分配标号，然后中间随意连边 .
这样形成的族叫做 \(\mathcal A\) 与 \(\mathcal B\) 的 arrow product .
我们定义两个 EGF \(\mathrm A(z)\)，\(\mathrm B(z)\) 的指数型 Hadamard 积为
\[\mathrm A(z)\odot\mathrm B(z)=\sum_{n\ge 0}a_nb_n\dfrac{z^n}{n!} \]令 \(\mathrm G(z)\) 为任意无向图的 EGF，\(\mathbf D(z)\) 为任意有向图的 GGF，\(\mathbf{Set}(x)\) 为没有边的图（点集）的 GGF，那么有：
\[\begin{aligned}&\mathrm G(z)=\mathbf D(z)=\sum_n2^{\binom n2}\dfrac{z^n}{n!}\\&\mathbf{Set}(x)=\sum_n\dfrac1{2^{\binom n2}}\dfrac{z^n}{n!}\end{aligned} \]同时，根据定义可以得到，对于任意序列 \(\{a\}\)，其 EGF \(\mathrm A(z)\) 与 GGF \(\mathbf A(z)\) 的关系为
\[\begin{aligned}&\mathrm A(z)=\mathrm G(z)\odot\mathbf A(z)\\&\mathbf A(z)=\mathbf{Set}(z)\odot\mathrm A(z)\end{aligned} \]令 \(\mathbf{DAG}(x,z)\) 为固定点数和零入度点数的 DAG 个数的 GGF，\(\mathbf{DAG}(x,z)\) 为仅固定点数的 GGF .
考虑从一张 \(d\) 个点的，没有边的图向 DAG 任意连边。那么最终得到的 DAG 中至少有 \(d\) 个零入度点 . 于是我们可以得到下式：
\[\mathbf{Set}(zt)\mathbf{DAG}(z)=\mathbf{DAG}(z,t+1) \]\(\mathbf{Set}(zt)\) 中 \(zt\) 的意义是每个点一定是一个零入度点，\(\mathbf{DAG}(z,t+1)\) 中 \(t+1\) 的意义为，让 \(t\) 的指数标记至少有几个零入度点 . 换句话说，每个零入度点可以被标记也可以不被标记 .
代入 \(t=-1\)，则有 \(\mathbf{Set}(-z)\mathbf{DAG}(z)=\mathbf{DAG}(z,0)\)，显而易见 \(\mathbf{DAG}(z,0)=1\)，于是
\[\mathbf{DAG}(z)=\dfrac{1}{\mathbf{Set}(-z)} \]注意：这里认为空图不是强连通图 .
令 \(\mathrm{SCC}(z)\)，\(\mathbf{SCC}(z)\) 为固定点数的强连通图数量的 EGF 和 GGF .
考虑任意图缩点之后会变成 DAG，DAG 中每个点都会是一个强连通分量 . 我们称 DAG 中的零入度点对应的强连通分量为类源 SCC（source-like SCC），然后令 \(\mathbf{D}(z,t)\) 为固定点数和类源 SCC 数的有向图个数的 GGF .
则有：
\[\mathbf{Set}(z)\odot\exp(t\cdot\mathrm{SCC}(z))\mathbf D(z)=\mathbf D(z,t+1) \]这里的 \(\exp\) 是将标号重新分配到各个类源 SCC 中，\(\odot\) 一下 \(\bf Set\) 是为了 EGF -> GGF .
代入 \(z=-1\) 得
\[\mathbf{Set}(z)\odot\exp(-\mathrm{SCC}(z))\mathbf D(z)=\mathbf D(z,0) \]也就是
\[\mathbf{Set}(z)\odot\exp(-\mathrm{SCC}(z))=\dfrac1{\mathbf D(z)} \]两边同时 \(\odot\,\mathrm G(z)\)：
\[\mathrm G(z)\odot\mathbf{Set}(z)\odot\exp(-\mathrm{SCC}(z))=\mathrm G(z)\odot\dfrac1{\mathbf D(z)} \]然后跳一点步可以化为
\[\exp(-\mathrm{SCC}(z))=\mathrm G(z)\odot\dfrac1{\mathrm G(z)} \]也就是
\[\mathrm{SCC}(z)=-\ln\left(\mathrm G(z)\odot\dfrac1{\mathrm G(z)}\right) \]参考文献：
- 如何阳间的数有向图（详细揭秘） - tiger0133
- 浅谈带边数限制的有标号图计数问题 - 灵梦
标签：10,有向图,mathbf,GGF,odot,SCC,II,DAG,mathrm 来源： https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/16573643.html