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【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明

作者:互联网

【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明

网上好像都是引用的维基,或者证的很不严谨

这里提供一个稍微严谨一点的证明,SG的部分基本上参考了维基 (自己想过,没想出来www)

要转载的话随便转载,就是不知道这垃圾玩意有没有转载的必要啊

定义

公平组合游戏,Nim游戏

满足如下条件的游戏被称为公平组合游戏:

Nim游戏:有 \(n\) 堆石子,二人轮流操作,每人可以在某堆中任意取若干个,但不能不取。如果某人不能取了那么它就输了。

常见的棋类就不是公平组合游戏,因为你不可以动别人的棋子。但Nim就是公平组合游戏,因为任何一方都可以拿任何一堆中的石子。

描述一个局面

对于一个局面,我们其实只关心它能到达哪些局面,因此我们用集合来描述一个局面,集合中包含它能到达的后继局面。 (因此你如果要展开这个集合,你会看到很多集合套集合)。如果它没有后继局面(即无法操作),我们用空集描述它。

特殊地,我们记 \(*n\) 表示一堆含有 \(n\) 个石子的Nim局面。容易发现 \(*n=\{*0,*1...*(n-1)\}\),是一个递归的结构。如果要展开就会变成集合套集合。

比如 \(*4=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\)。

对于一个局面,如果是先手必胜,我们说它是 \(N\) 的,否则就是 \(P\) 的。

关于胜负情况,好像没有找到相关的函数描述。这里我们用 \(win(S)\) 表示局面 \(S\) 的胜负情况,其值为 \(P\) 或者 \(N\)。

判定局面的胜负性:

局面间的关系

局面的和:对于两个局面 \(S,S'\),定义 \(S+S'\) 表示:现在同时进行 \(S\) 和 \(S'\) 两个游戏,两边都不能操作就算输,这样的一个局面。如何描述它呢?

很明显,如果你要走一步,要么走 \(S\) 的一个后继,要么走 \(S'\) 的一个后继。比如说你走了 \(S\) 的后继 \(s\),那接下来就是 \(s\) 和 \(S'\) 两个游戏同时进行,是一个子结构。另一边同理。因此我们可以写出这样的定义式:

\(S+S'=\{s+S'|s\in S\}\cup\{S+s'|s'\in S'\}\)

把它递归展开就可以得到 \(S+S'\) 局面的集合表达了。当然,这一般只用于给出形式化的定义,实际上不会用,因为复杂度爆炸。当我们需要考虑两个局面相加时,通常我们是根据意义来理解这件事情,想象发生了什么,并描述出关系,而不会用它来暴力展开。比如说你可以很容易发现,局面的相加满足交换律和结合律。

局面的等价性:通常在我们研究问题的过程中,如果有两个东西,把一个换成另一个不会影响问题,我们就说它俩等价

局面的等价怎么描述?如果根据输赢,你会发现,只要 \(n>0\),\(*n\) 就是 \(N\) 的。但显然我们很有必要关心每一堆里具体有多少石子。因此只根据输赢描述肯定不行。

我们发现问题出在把局面组合起来的时候。因此我们这样描述:对于局面 \(G,G'\),\(\forall H,win(G+H)=win(G'+H)\) (这里的等于是指输赢情况相等),则我们说 \(G\) 和 \(G'\) 等价,记作 \(G\approx G'\)。

SG 定理

SG 定理是说,对于每个局面 \(S\),都存在恰好一个 \(n\) 使得 \(S\approx *n\)。并且 \(n\) 的值为所有 \(S\) 的后继状态 \(n\) 值的 mex。这个 \(n\) 值就是 \(SG\) 函数的值 \(SG(S)\)。

SG 的另一个性质是,若 \(S=A_1+A_2...+A_n\),则 \(SG(S)=SG(A_1)\oplus SG(A_2)\oplus...\oplus SG(A_N)\),其中 \(\oplus\) 为 Nim 和,也就是我们熟悉的异或和。关于这个的证明:首先使用 SG 定理,然后参考【Nim游戏的正确性证明】,得到它是对的。这个放在 SG 定理证明的后面。

证明

引理1

对于一个 \(P\) 的局面 \(A\) 和任意局面 \(G\),\(G\approx G+A\)。

对于任意 \(H\),需要满足 \(win(G+H)=win(G+H+A)\)。分类讨论。

如果 \(win(G+H)=P\),那么 \(win(G+H+A)\) 一定也是 \(P\)。为什么呢?整个局面可以看成 \((G+H)+A\),由两个后手必胜的局面组成。无论先手在哪个部分操作,后手都可以用对应的必胜策略来应对。两边后手都不会输,因此总局面也一定是后手必胜。

如果 \(win(G+H)=N\),那么 \(win(G+H+A)\) 一定也是 \(N\)。同样分成 \(G+H\) 和 \(A\) 两部分,\(G+H\) 是先手必胜的,先手按必胜策略在这里操作一步后,就形成两个先手必败的局面给后手。按照上一种情况中的讨论可知,操作完这一步后的先手(即原来的后手)必败。 那也就是原来的先手必胜,就是

引理2

\(win(G+G')=P \iff G\approx G'\)

考虑 \(G+G+G'\)。

一方面它等于 \((G+G)+G'\)。发现 \(G+G\) 一定是后手必胜的,因为后手可以和先手做对称的操作,只要先手能走,后手就一定能走,后手永远不会输。因此它是一个 \(P\) 的局面 \(+G'\),根据引理1知它等价于 \(G'\)

另一方面它等于 \(G+(G+G')\),由于 \(G+G'\) 是 \(P\) 的,所以它等价于 \(G\)。

从而 \(G\approx G+G+G'\approx G'\)。

前置知识:结构归纳法

结构归纳法可以看成是数学归纳法在DAG上的拓展:我们先说明一些命题是对的,然后命题之间存在依赖关系(无环),对于每个依赖关系证明:若前置命题对,则某命题对,从而推得所有命题都对。

数学归纳法可以看成是对一条退化成链的DAG进行结构归纳法

SG定理的证明

我们使用结构归纳法证明:首先没有后继状态的局面等价于 \(*0\),然后对于局面 \(S\),我们证明:如果它的后继中SG定理成立,那么 \(S\) 中SG定理成立。

即,设:对于局面 \(S=\{S_1,S_2...S_k\}\),假设 \(S_1,S_2...S_k\) 都等价于一些单堆 Nim 游戏,设它们为 \(*n_1,*n_2...*n_k\),那么存在 \(m\) 使得 \(S\approx *m\),并且我们知道 \(m=mex\{n_1,n_2...n_k\}\)

显然 \(S\approx S'=\{*n_1,*n_2...*n_k\}\)。 考虑证明 \(S'\approx *m\)。

根据引理2,这件事情等价于 \(win(S'+*m)=P\)。分类讨论

  1. 假设先手在 \(S'\) 中操作,走到了 \(*x\)。若 \(x<m\),显然后手可以在 \(*m\) 中也走到 \(*x\),变成两个相同局面同时进行,显然是后手必胜。如果 \(x>m\),那么后手可以继续在 \(*x\) 中操作,走到 \(*m\),又变成两个相同局面,后手必胜。
  2. 假设先手在 \(*m\) 中操作,走到了 \(*x\),那显然后手就在 \(S'\) 中走,走到 \(*x\),后手必胜

综上,\(win(S'+*m)=P\),从而 \(S'\approx *m\)。又因为 \(S\approx S'\),从而 \(S\approx *m\)。

Nim游戏正确性证明

我们知道,取 \(a_i\) 的异或和,大于 \(0\) 就是先手必胜,为 \(0\) 就是后手必胜。

我们使用数学归纳法证明。设命题 \(P(k)\) 表示:当 \(\sum a_i\le k\) 时,结论成立。

显然 \(P(0)\) 成立,因为此时 \(a_i\) 一定全 \(0\),异或和为 \(0\),后手胜。

下证: 当 \(P(k-1)\) 成立时, \(P(k)\) 成立。

设此时 \(a_i\) 的异或和为 \(x\)。分类讨论:

若 \(x>0\),设 \(x\) 二进制最高位为 \(2^p\) 位。那么一定有至少一个 \(a_i\),它的 \(2^p\) 位为 \(1\)。我们把 \(a_i\) 变成 \(a_i\oplus x\),那么 \(a_i\) 比 \(p\) 高的位不变,\(p\) 位上由 \(1\) 变成 \(0\),不管后面怎么变 \(a_i\) 都会变小。这样一来,所有 \(a_i\) 的异或和变成了 \(0\),并且和一定 \(<k\)。根据 \(P(k-1)\) 成立,此时的 \(a_i\) 的后手必胜。也就是说原来的 \(a_i\) 先手必胜。

若 \(x=0\),无论先手如何操作,和都会变小,并且异或一定会变成一个非 \(0\) 的数。(将 \(a\) 变成 \(a'<a\),异或和变化为 \(a\oplus a'\),当且仅当 \(a'=a\) 时它可以为 \(0\),由于 \(a'<a\),因此它一定不为 \(0\))根据 \(P(k-1)\) 成立,此时的 \(a_i\) 先手必胜,也就是原来的 \(a_i\) 后手必胜。

综上,\(P(k-1)\) 成立时,\(P(k)\) 成立。

证明概括

SG:你发现一个SG值和单堆Nim唯一的不同在于它可以变大,但是变大的话你显然可以再变回来,所以和单堆Nim等价

Nim:你发现你找一个最高位重合的异或一下就可以把非0的异或和变成0,并且异或和为0时无论如何都会变成非0

标签:局面,approx,Nim,Sprague,win,必胜,Grundy,SG
来源: https://www.cnblogs.com/LightningUZ/p/16548523.html