\(K-D\) \(Tree\)

简述

\(K-D\) \(Tree\)是一种以二叉搜索树为结构，可以高效处理\(k\)维空间信息的数据结构，在处理\(k\)维数点问题上，最差情况下复杂度是\(θ(n \times n^{1 − \frac{1}{k}})\)

拿二维数点为例

\(n\)个二维平面上的点，\(m\)次询问一个二维范围上有多少个点
\((n≤10^{5},m≤10^{5})\)

可以解决问题的算法很多，树套树，\(CDQ\)分治都可以解决，复杂度都是\(θ(mlog^{2}n)\)的

用\(K-D\) \(Tree\)的话，单次询问最优可以达到\(θ(logn)\)，最差是\(θ(\sqrt{n})\)的

建树

首先，将\(n\)个二维平面上的点按照顺序排列到二叉搜索树上

为了方便我们的建树，我们会用到一个\(algorithm\)库中的\(nth_element\)的函数，这个函数可以按照\(\frac{x}{y}\)坐标排序，并使第\(k\)小位于选择范围内的第\(k\)个位置上

借用这个函数，我们可以很快求出中位数，在建二叉树时，就能建出一个相对有序的二叉树，对于一个节点，要么他左儿子子树上所有点的\(x\)值都比他小，要么\(y\)值都比他小

除此之外，我们还需\(pushup\)子树内\(x\)值的最大最小值，\(y\)值的最大最小值，便于查询

这样\(K-D\) \(Tree\)就建好了，不一样的题可能\(pushup\)的东西不一样，但\(nth_element\)的操作不变

预估

在二维数点中这个操作是不需要的

在其他问题上经常会用到，如果这个子树的最优可能答案比当前统计的答案还劣，便不会再遍历这个子树，从而更加优化复杂度

预估函数根据不同的题目而随机应变

查询

在二维数点中
如果我们查询的矩形包含了当前查询子树的\(\frac{x}{y}\)最大最小值围成的矩形，那么这颗子树上的点一定全在查询范围内

如果两个矩形没有交集，则这颗子树上的点一定全不在查询范围内

其他情况则直接向下遍历子树

标签：子树,复杂度,数点,Tree,查询,二维
来源： https://www.cnblogs.com/Kamisato-Ayaka/p/16548230.html