ARC145E

题面

你有一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\) ，你想通过小于等于 \(70000\) 次操作使 \(A\) 等于另一个序列 \(B\) ，或判断无解。

操作为：选择一个 \(k\in[1,n]\) ，对于 \(i\in[2,k],a_i\leftarrow a_i\oplus a_{i-1}\) 。

数据范围 ：\(n\le 1000,a_i< 2^{60}\) 。

题解

首先分析一下操作，发现他是对 \(A\) 的一个前缀产生改变，即如果我们让 \(a_n=b_n\) ，那么就可以不用管 \(n\) 了，所以我们可以考虑从后往前去让每一个 \(a_i\) 满足。

现在我们考虑最终 \(a_i\) 的值可以从哪里来。

因为操作是异或，所以如果设 \(S=\{a_1,a_2,..., a_{i-1},a_i\}\) ，那么 \(a_i\) 就是 \(S\) 的某一个子集 \(T\) 的异或和，并且 \(a_i\in T\) 。

一定是子集吗？也就是所有情况都取得到吗？

考虑构造，设 \(01\) 序列 \(C\) ，其中 \(c_j=1\) 表示在 \(T\) 中，我们从 \(1\) 遍历到 \(i\) ，然后保持 \(j\) 的值为 \(a_j\oplus_{x\in T\and x<j} a_x\) 。

• 若 \(c_{j+1}=1\)，下一步操作就是 \(k={j+1}\) ，可以看出此时 \(a_{j+1}\) 的值也是上面这一坨。
• 若 \(c_{j+1}=0\) ，下一步操作就是 \(k={j+2}\) ，此时 \(a_{j+2}=a_{j+1}\oplus a_{j}\) 而 \(a_{j+1}\) 是上面的这一坨，之后从 \(a_{j+1}\) 合并到 \(a_{j+2}\) 的时候 \(a_{j+1}\) 就会消掉。

所以可以证明所有子集都可以被构造出来。

那么怎么找到子集使 \(\oplus_{x\in T} a_x=b_i\) 呢？线性基！！！所以就做完了。

但是！这时候我们发现了一个严峻的问题：上面的构造是 \(O(n)\) 一次的，所以理论上最坏复杂度是 \(O(n^2)\) 的，远远大于 \(70000\) ，而且理论最小值也是 \(\log a_i n=60000\) 的，怎么会过呢？

但事实是就是能过，不知道是数据水还是有奇怪性质。

有没有复杂度保证的做法呢？

有！

我们发现正着做没法做，因为 \(a_i\) 每次只会得到 \(a_{i-1}\) 的信息，理论上基本上都是要 \(O(n^2)\) 的操作的。

这时候，上天（题解）告诉你要反着来，考虑对 \(B\) 操作。

首先看逆操作是什么：

\[A=\{a_1,a_2\oplus a_1,a_3\oplus a_2,...,a_i\oplus a_{i-1}\}=A'=\{a'_1,a'_2,a'_3,...,a'_i\} \]

那么 \(a'_i=\oplus_{j=1}^i a_{j}\) 。（如果是 \(+\) ，那么 \(a_i'=\sum_{j=1}^i (-1)^{(i-j)} a_j\) 。）

那么逆操作就是对于 \(i\in[2,k]\)，\(a_i\leftarrow \oplus_{j=1}^i a_{j}\)

这时候，我们发现，因为一次操作会给所有 \(2\sim k\) 的 \(b_i\) 发生改变，这就意味着如果我们在构造的时候是可能改变前面的某个 基向量 的值的，这会有影响吗？

答案是没有！

基底的选取有着很高的自由度。具体地，

• 若\(\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_i},...,\vec{v_j},..\vec{v_n}\)线性无关，
• 则\(\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_i}+\vec{v_j},...,\vec{v_j},..\vec{v_n}\)也是线性无关的。
• 也就是说，基向量相加减依然可以作为基向量。

—— from 王总课件。

那么如果我们考虑从前往后去构造线性基，那么当 \(i\) 作为基向量的时候， 让 \(b_i\) 任意和 \(b_1\sim b_{i-1}\) 做异或运算， \(b_i\) 永远都会是基向量，所以我们可以从前往后先扫一遍，这样我们就求出了一组基底。

现在考虑构造 \(b_i\) ，最后一次操作肯定是 \(k=i\) ，让 \(b_i=\oplus_{j=1}^i b_{j}\) 。

考虑如何消除一个 \(b_x\) ，发现我们只需要做一次 \(k=x+1\) ，这样 \(b_{x+1}\) 也有一个 \(b_x\) ，所以 \(\oplus_{j=1}^i b_{j}\) 里就没有 \(b_x\) 了。

所以我们从后往前依次考虑每一个基向量 \(x\) ，如果判断 当前 \(\oplus_{j=1}^i b_{j}\) 的值不能被 \(x\) 之前的基向量表示，那么就要按上面方法去除掉 \(b_x\) 。

所以这样就是严格 \(n\log a_i\) 的复杂度。

启发

• \(a_i\leftarrow a_{i-1}\oplus a_i\) 的逆操作是 \(a_i\leftarrow \oplus_{j=1}^i a_{j}\) 。
• 基向量相加减依然可以作为基向量！

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来源： https://www.cnblogs.com/qwq-123/p/16542633.html