线性代数基础

行列式

二元线性方程组的求解：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]

当 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not ={0}\) 时方程组由唯一解

二阶行列式：

将系数提取并记为：\(D =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\)

表达式 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) 即为二阶行列式

\[D =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

三阶行列式：

\[D =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \text{主对角线相乘相加} - \text{副对角线相乘相加} \]

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行列式与矩阵的区别

行列式：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

• 行数等于列数
• 共有 \(n^2\) 个元素
• 行列式的结果是一个数值

矩阵：

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

• 行数可以不等于列数
• 共有 \(m\times n\) 个元素
• 本质上就是一个数表

矩阵的特殊形式：

行向量与列向量：

\[(a_1\ a_2\ \cdots\ a_n)\qquad \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix} \]

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特殊矩阵

方阵：

行和列一样的就是方阵，一般叫做 \(n\) 阶方阵

\[A=A_{n\times n}=A_n= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} =(a_{ij})_{n\times n} \]

上三角矩阵与下三角矩阵：

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

对角矩阵和单位矩阵：

\[\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad \]

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矩阵同型和矩阵相等

同型矩阵：两个矩阵的行列数相同

矩阵相等：在同型的前提下，各位置元素也相等

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矩阵的基本运算

矩阵加减法：

有两个 \(m\times n\) 的矩阵 \(A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})\)

\[A\pm B=(a_{ij}\pm B_{ij}) \]

矩阵数乘：

数乘运算，数 \(\lambda\) 与矩阵 \(A\) 的乘积

\[\lambda A=A\lambda= \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix} \]

矩阵乘法：

设矩阵 \(A\) 大小 \(m\times p\)，矩阵 \(B\) 大小 \(p\times n\)，那么其乘积为矩阵 \(C\)，大小 \(m\times n\)，记作 \(C=AB\)，其中元素 \(c_{ij}\) 可表示为：

\[C_{ij}=\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj} \]

矩阵乘法的性质：

• 矩阵乘法没有交换律：\(AB\not ={BA}\)
• \((AB)C=A(BC)\)
• \(\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
• \(A(B+C)=AB+AC\)
• \((B+C)A=BA+CA\)

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矩阵表示方程组

\(A\) 为系数矩阵，\(X\) 是未知数矩阵，\(B\) 是常数矩阵：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} \quad \text{即}\quad AX=B \]

其中：

\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\quad X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad B= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \]

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矩阵变换

矩阵转置：

即行列调换位置，矩阵 \(A\) 的转置记作 \(A^T\)

矩阵转置的性质：

• \((A^T)^T=A\)
• \((A+B)^T=A^T+B^T\)
• \((\lambda A)^T=\lambda A^T\)
• \((AB)^T=B^TA^T\ \Rightarrow\ (A_1A_2\cdots A_n)^T=A_n^T\cdots A_2^TA_1^T\)

对称矩阵：

如果满足 \(A^T=A\)，那么 \(A\) 就是对称矩阵

即要求 \(a_{ij}=a_{ji}\)

逆矩阵：

若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，如果存在 \(n\) 阶方阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=I\text{(单位阵)}\)

则称 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B=A^{-1}\)

逆矩阵的性质：

• \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
• \((A^{-1})^{-1}=A\)
• \((\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}\)
• \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

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矩阵的秩

对于一个 \(s\times n\) 的矩阵：

\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix} \]

矩阵 \(A\) 的每一行可以看作一个 \(N\) 维向量：\(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),\ i=1,2,\cdots,s\)

\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 称为 \(A\) 的行向量

矩阵 \(A\) 的每一列可以看作一个 \(S\) 维向量：\(\beta_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{sj}\end{pmatrix},\ j=1,2,\cdots,n\)

\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 称为 \(A\) 的列向量

其中行向量或列向量的极大线性无关组中向量的个数称为矩阵的秩

矩阵的行秩和列秩是相等的

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向量的内积

设有 \(n\) 维向量：\(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_n\end{pmatrix},\ y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n\end{pmatrix}\)

记 \([x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\)，将 \([x,y]\) 叫做向量的内积

\[[x,y]=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n\end{pmatrix}=x^Ty \]

内积的性质：

• 对称性：\([x,y]=[y,x]\)
• 线性性质：\([\lambda x,y]=\lambda[x,y]\)
• 线性性质：\([x+y,z]=[x,z]+[y,z]\)

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向量的长度

• \(n\) 维向量 \(x\) 的长度：\(||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\ge 0\)
• 当 \(||x||=1\) 称为单位向量
• 齐次性：\(||\lambda x||=|\lambda|\cdot||x||\)
• 三角不等式：\(||x+y||\le||x||+||y||\)

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向量的正交

• 若两个向量 \(x\) 和 \(y\) 满足 \([x,y]=0\)，则称向量 \(x\) 和 \(y\) 正交
• 零向量与任何向量都正交
• 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组
• 若 \(a_1,a_2,\cdots,a_r\) 是两两正交的非零向量，则 \(a_1,a_2,\cdots,a_r\) 线性无关

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规范正交基

\(n\) 维向量 \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 是向量空间 \(V\subset R^n\) 中的向量，满足

• \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 是向量空间 \(V\) 中的一个基
• \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 两两正交
• \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 都是单位向量

则称 \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 是 \(V\) 的一个规范正交基

标签：机器,基础,矩阵,cdots,线性代数,pmatrix,end,lambda,vdots
来源： https://www.cnblogs.com/buzzing/p/16495524.html