1.杜教筛

杜教筛是用来在低于线性的时间复杂度\((O(n^\frac{2}{3} )?)\)内求出积性函数的前缀和的算法

根据杜教筛的定义，我们设

\[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i) \]

\[g是一个积性函数 \]

\[h(n)=f \times g \]

\[H(n)=\sum_{i=1}^nh(i) \]

那么有

\[\begin{aligned} H(n)&=\sum_{i=1}^nh(i)\\ &=\sum_{i=1}^n(f\times g)(i)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}{g(d)f(\frac{i}{d})}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}{g(d)f(\frac{i}{d})}\\ &=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{d})[d|i] \\ &=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}f(i) \\ &=\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)\\ \end{aligned} \]

变化一下可得：

\[\begin{aligned} g(1)S(n)&=H(n)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor) \end{aligned} \]

这就是杜教筛最根本的式子。
如果我们能找到一个g，使得g的前缀和\(g\times h\)的前缀和都很好求，那我们就能用整数分块快速求出S了

应用

\[\sum_{i=1}^n\mu(i) \]

我们知道

\[\mu \times I =\epsilon \]

\(\epsilon\)的前缀和永远是1，\(I\)的前缀和就是n

那我们就可以推出\(\mu\)的前缀和式子了

标签：artalter,frac,前缀,sum,杜教,ng,aligned,进阶
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