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CF1290E Cartesian Tree

2022-07-10 21:38:41 作者：互联网

CF1290E Cartesian Tree

题意

\(~~~~\) 给定一个 \(1 \sim n\) 的排列，对于一个整数 \(k\in[1,n]\) ，定义其权值 \(s_k\) 为将排列中 \(\leq k\) 的项的子序列构成大根笛卡尔树后所有节点的子树大小和。\(\forall i\in[1,n]\) 求 \(s_i\).

\(~~~~\) \(1\leq n\leq 1.5\times 10^5\).

题解

\(~~~~\) 作为数据结构确实比较精妙，但实现略恶心。

\(~~~~\) 首先我们发现加入一个新的数后笛卡尔树就很可能会大变样，所以我们不太可能直接维护笛卡尔树。

\(~~~~\) 「你是你或是妳都行/会有人全心的爱你」既然你不太能上树那就直接放到序列上思考。

\(~~~~\) 关于笛卡尔树的子树大小，我们不难想到就是其所作为最值的最大区间大小，这里由于是大根笛卡尔树所以就是最大的作为最大值的区间大小。所以我们需要维护 \(\sum(r_i-l_i+1)\) ，则对于第 \(i\) 个数加入后，答案为 \(\sum r_i-\sum l_i +k\) 。当然我们也可以维护前后第一个比它大的数的位置，那就是 \(\sum r_i-\sum l_i-k\) 。这里笔者采用了后者。

\(~~~~\) 所以我们来考虑从小到大加入时，加入一个数会有何变化。假设加入的数 \(x\) 在现在的序列中为第 \(p\) 个（这可以用树状数组简单求出），则：

对于在它前面的数，其 \(r\) 会变为 \(\min(r,p)\)
对于在它后面的数，有 \(l\leftarrow l+1,r\leftarrow r+1\)，之后其 \(l\) 会变为 \(\max(l,p)\).
对于它本身，其 \(l\) 会变为 \(0\) ，\(r\) 会变为 \(x+1\).

\(~~~~\) 那综上，我们要做的就是：维护区间取最值，区间加法，单点赋值。直接上吉司机线段树（Segment Beats）就行了。

\(~~~~\) 但是需要注意的是，我们每次维护的 \(l,r\) 都是在当前序列的意义下的，所以维护和时只能维护存在于当前序列的位置的和。当然这很好解决，打一个 \(Len\) 标记表示可用的位置数即可。至于写两种标记还是数域划分就看个人喜好了。

\(~~~~\) 此外为了防止同时写两种最值操作，不妨把 \(l\) 相关的部分取反维护，这样可以少写一棵线段树。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int INF=1e9;
struct SegmnetTree{
	#define ls p<<1
	#define rs p<<1|1
	#define lson p<<1,l,mid
	#define rson p<<1|1,mid+1,r
	ll Tag1[600005],Tag2[600005];
	ll Maxn[600005],Maxn2[600005],Cnt[600005],Sum[600005],Len[600005];
	void pushUp(int p)
	{
		Len[p]=Len[ls]+Len[rs]; Maxn[p]=max(Maxn[ls],Maxn[rs]); Sum[p]=Sum[ls]+Sum[rs];
		if(Maxn[ls]==Maxn[rs]) Maxn2[p]=max(Maxn2[ls],Maxn2[rs]),Cnt[p]=Cnt[ls]+Cnt[rs];
		if(Maxn[ls]>Maxn[rs])  Maxn2[p]=max(Maxn2[ls],Maxn[rs]),Cnt[p]=Cnt[ls];
		if(Maxn[ls]<Maxn[rs])  Maxn2[p]=max(Maxn[ls],Maxn2[rs]),Cnt[p]=Cnt[rs];
	}
	void Add(int p,int T1,int T2)
	{
		if(Maxn2[p]==-INF) Maxn[p]+=T1,Sum[p]+=Len[p]*T1;
		else Maxn[p]+=T1,Maxn2[p]+=T2,Sum[p]+=Cnt[p]*T1+(Len[p]-Cnt[p])*T2;
		Tag1[p]+=T1; Tag2[p]+=T2;
	}
	void pushDown(int p)
	{
		int Max=max(Maxn[ls],Maxn[rs]);
		Add(ls,Maxn[ls]==Max?Tag1[p]:Tag2[p],Tag2[p]);
		Add(rs,Maxn[rs]==Max?Tag1[p]:Tag2[p],Tag2[p]);
		Tag1[p]=Tag2[p]=0;
	}
	void Build(int p,int l,int r)
	{
		if(l==r)
		{
			Maxn[p]=Maxn2[p]=-INF; Cnt[p]=Len[p]=Sum[p]=0;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		Build(lson); Build(rson);
		pushUp(p);
	}
	void Modify(int p,int l,int r,int lx,int rx,int val,int op)
	{
		if(l>r||lx>rx) return;
		if(!Len[p]) return;
		if(op==1&&lx<=l&&r<=rx) {Add(p,val,val);return;}
		if(op==2&&Maxn[p]<=val) return;
		if(op==2&&lx<=l&&r<=rx&&Maxn2[p]<val) {Add(p,val-Maxn[p],0);return;}
		int mid=(l+r)>>1; pushDown(p);
		if(lx<=mid) Modify(lson,lx,rx,val,op);
		if(mid<rx)  Modify(rson,lx,rx,val,op);
		pushUp(p);
	}
	void Give(int p,int l,int r,int aim,int val)
	{
		if(l==r) {Maxn[p]=Sum[p]=val,Maxn2[p]=-INF,Cnt[p]=Len[p]=1;return;}
		int mid=(l+r)>>1; pushDown(p);
		if(aim<=mid) Give(lson,aim,val);
		if(mid<aim)  Give(rson,aim,val);
		pushUp(p);
	}
	ll Query(){return Sum[1];}
	ll DEBUG(int p,int l,int r,int aim)
	{
		if(l==r) return Sum[p];
		int mid=(l+r)>>1;pushDown(p);
		if(aim<=mid) return DEBUG(lson,aim);
		if(mid<aim)  return DEBUG(rson,aim);
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef lson
	#undef rson
}Seg1,Seg2;
template<typename T>void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int n,pos[150005],pos2[150005],Del;
struct BIT{
	int tr[150005];
	inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
	void Add(int x,int val){for(;x<=n;x+=lowbit(x)) tr[x]+=val;}
	int Query(int x){int ret=0;for(;x;x-=lowbit(x)) ret+=tr[x];return ret;}
}BIT;
int main() {
	read(n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++) read(x),pos[x]=i,pos2[x]=BIT.Query(x)+1,BIT.Add(x,1);//pos2 表示最开始插入在第几个 
	Seg1.Build(1,1,n); Seg2.Build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		Seg1.Give(1,1,n,pos[i],0); Seg2.Give(1,1,n,pos[i],i+1);
		Seg1.Modify(1,1,n,pos[i]+1,n,-1,1); Seg2.Modify(1,1,n,pos[i]+1,n,1,1);
		Seg1.Modify(1,1,n,pos[i]+1,n,-pos2[i],2); Seg2.Modify(1,1,n,1,pos[i]-1,pos2[i],2);
		printf("%lld\n",Seg2.Query()+Seg1.Query()-i);
//		for(int j=1;j<=n;j++) printf("(%d %d)",-Seg1.DEBUG(1,1,n,j),Seg2.DEBUG(1,1,n,j));puts("");
	}
	return 0;
}

标签：Cartesian,笛卡尔,int,sum,Tree,CF1290E,ls,维护,lx
来源： https://www.cnblogs.com/Azazel/p/16464088.html