wqs二分学习笔记

有一道简单的题，序列 \(a\) 有 \(n\) 元素，选正好 \(k\) 个元素和的最大值？

这道题可以用排序，但是这道题可以用来理解「二阶导」恒定的正负性。

用 \(g_k\) 表示选正好 \(k\) 个元素的最佳答案，把 \((k,g_k)\) 形成的点画在坐标系上，就能得到一个「上凸包」。

例如 \(a = [9,8,4,2,-9,-15]\) 时，

对于大多数题目，如果没有 \(k\) 的限制，应该是可以在期望的复杂度内算出来的，一般 \(\mathcal{O}(n)\) 可以做到。比如这道题就是把所有正数加起来。这样相当于求凸包的最高点。

但是有了准确的次数限制之后就行不通了。wqs 二分的作用就是能判断这个，二分直线的斜率来切凸包。

有了一个确定斜率 \(c\) 的直线之后，假设与凸包切在一个点 \((p,g_p)\)，那么此时一定满足「截距」最大，为 \(g_p-c\cdot p\)。

可以看作是在每个元素基础上加上一个代价 \(c\)，就是对于每个元素减 \(c\) 后，计算不带元素个数限制的答案 \(\texttt{Maxn}\)，结果就是 \((p,g_p)\) 这个点的结果，即 \(\texttt{Maxn} + cp = g_p\)。

形象地理解，加上代价之后凸包变形，求变形凸包的最高点等同于原来用直线切凸包，切出来就是最大的截距。

演示

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