CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence

。。。。

 几个比较重要的数论知识

一位大佬的博客

 yyb的bsgs

对于m的原根g，满足$g^i (mod\ p)(0<=i<=p-2)$与$1$到$p-1$一一对应

发现$k$项之后的$f$都是$f_k$的幂次

幂次的加法用矩阵快速幂得到x

即$f_k^{x}=m(mod\ 998244353)$

998244353的原根为3

将柿子化成 $3^{s*x}=m(mod\ 998244353)$

$s*x$可以通过$bsgs$得到

然后求x的逆元

得到$s$，$3^{s}$即为答案

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 #define LL long long
 5 const LL mod=998244353;
 6 
 7 int k,b[110];
 8 int n,m;
 9 
10 struct Matrix{
11     int jz[110][110];
12     Matrix(int x=0){
13         for(int i=1;i<=k;++i)
14             for(int j=1;j<=k;++j)
15                 jz[i][j]=0;
16         for(int i=1;i<=k;++i)jz[i][i]=x;
17     }
18     Matrix operator* (Matrix a){
19         Matrix c;
20         for(int s=1;s<=k;++s)for(int i=1;i<=k;++i)for(int j=1;j<=k;++j)
21             c.jz[i][j]=(c.jz[i][j]+1LL*(this->jz[i][s])*a.jz[s][j]%(mod-1))%(mod-1);
22         return c;
23     }
24     inline void pt(){
25         for(int i=1;i<=k;++i,puts(""))
26             for(int j=1;j<=k;++j)
27                 cout<<jz[i][j]<<" ";
28         return ;
29     }
30 };
31 
32 inline LL qpow(LL a,LL b){
33     LL res=1;a%=mod;
34     for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
35         if(b&1)res=res*a%mod;
36     return res%mod;
37 }
38 
39 LL BSGS(LL y,LL z,LL p){
40     z%=p;
41     LL x=sqrt(p)+1;
42     unordered_map<LL ,int >hsh;
43     LL mi=1;
44     for(LL i=0;i<x;++i,mi=mi*y%mod)hsh[z*mi%mod]=i+1;
45     for(LL i=1,Mi=mi;i<=x+1;++i,Mi=Mi*mi%mod){
46         int b=hsh[Mi];
47         if(b)return 1LL*i*x-(b-1);
48     }
49     return -1;
50 }
51 
52 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
53     if(!b){
54         x=1;y=0;
55         return a;
56     }
57     LL d=exgcd(b,a%b,x,y);
58     LL tmp=x;
59     x=y;
60     y=tmp-a/b*y;
61     return d;
62 }
63 
64 int main(){
65     scanf("%d",&k);
66     for(int i=1;i<=k;++i)scanf("%d",&b[i]);
67     scanf("%d%d",&n,&m);
68 
69     Matrix A;
70     for(int i=1;i<=k;++i)A.jz[i][k]=b[k-i+1];
71     for(int i=2;i<=k;++i)A.jz[i][i-1]=1;
72     int num=n-k;
73     Matrix ans(1);
74     for(;num;num>>=1,A=A*A)
75         if(num&1)ans=ans*A;
76 
77     LL x=ans.jz[k][k];
78     LL sx=BSGS(3,m,mod);
79     if(sx==-1){
80         puts("-1");
81         return 0;
82     }
83 
84     // cout<<qpow(3,sx)<<endl;
85     // cout<<x<<" "<<sx<<endl;
86 
87     LL X,Y;
88     LL d=exgcd(x,mod-1,X,Y);
89     if(sx%d){
90         puts("-1");
91         return 0;
92     }
93     // cout<<X<<" "<<x<<endl;
94     // cout<<X*x%(mod-1)<<endl;
95     LL s=(sx/d*X%(mod-1)+(mod-1))%(mod-1);
96     // cout<<X<<" "<<s<<endl;
97     printf("%lld\n",qpow(3,s));
98     return 0;
99 }

标签：CF1106F,return,Recursive,Sequence,int,LL,110,998244353,mod
来源： https://www.cnblogs.com/2018hzoicyf/p/16250782.html