组合数与除法逆元，阶乘逆元递推

在求组合数时，其除数有阶乘形式，会非常大。

所以需要用除法逆元记录。

有公式1/num=pow(num,P-2)(mod P)，P是质数。

其中pow可以用QuickPow算法求出。

在阶乘递推时，可以有n!=(n-1)!*n;从前向后递推

阶乘的逆元在递推时，有1/(n!)=1/((n-1)!)/n <=> 1/((n-1)!)=1/(n!)*n

又有：1/(n!)=pow(n!,P-2)(mod P)，即可以先算出1/(n!)，再从后向前递推（正常取模乘法）。

例题：（组合数、组合数公式、阶乘逆元递推结合）

https://codeforces.com/contest/1696/problem/E

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9 + 7;
LL a[200010];
LL fac[400010];
LL inv_fac[400010];
LL QPow(LL base, LL exp)
{
    LL res = 1;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1) res = (res * base) % MOD;
        exp >>= 1;
        base *= base;
        base %= MOD;
    }
    return res;
}
void YD()
{
    int n;
    cin >> n;
    LL tmp = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) cin >> a[i], tmp = max(tmp, a[i] + i);
    tmp++;
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= tmp; i++) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % MOD;
    inv_fac[0] = inv_fac[1] = 1;
    inv_fac[tmp] = QPow(fac[tmp], MOD - 2);
    for(int i=tmp-1;i>=2;i--) 
        inv_fac[i] = (inv_fac[i + 1] * (i + 1)) % MOD;
    LL res = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        if (a[i] == 0) break;
        res += fac[i + a[i]] * inv_fac[i + 1]%MOD * inv_fac[a[i] - 1]%MOD;
        res %= MOD;
    }

    cout << res << endl;



    
}

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int T = 1;
    //cin >> T;
    while (T--)
    {
        YD();
    }
    return 0;
}

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标签：res,LL,逆元,阶乘,fac,递推
来源： https://www.cnblogs.com/ydUESTC/p/16418442.html