数学基础02-集合、区间、函数、反函数和复合函数、初等函数
作者：互联网
集合
1 基本概念
1.1 定义
把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合，集合一般用大写字母A B C ……表示
1.2 元素
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，一般用a b c ……表示 (确定性，互异性，无序性)
1.3 元素和集合的关系
若 \(a\) 是集合 \(A\) 中的元素，记作 \(a \in A\)
若 \(a\) 不是集合 \(A\) 中的元素，记作 $ a \notin A$
1.4 有限集和无限集
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集
1.5 空集
不含有任何元素的集合叫做空集，记作 $ \emptyset $
1.6 常用的几种数集及记号
| 自然数集 | 正整数集 | 正数集 | 有理数集 | 实数集 | 复数集 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(N(0 \in N)\) | \(N^+\)或\(N_+\) | \(Z\) | \(Q\) | \(R\) | \(C\) |
2 集合的表示方法
2.1 例举法
将集合中的元素一一例举出来并写在大括号内。
\[A = \{1,2,3,4 \} \]2.2 属性法
将集合中元素的共同特诊描述出来写在大括号内
\[A = \{x \mid x是小于5的正整数\}\\ B = \{y \mid 0 \leq y\leq 2\} \]2.3 图示法(韦恩氏图)
用封闭曲线的内部表示一个集合
3 集合与集合的关系
3.1 交集
由集合A与集合B的所有公共元素所组成的集合叫做A与B的交集，记作 \(A \cap B\) 显然有：
\[A \cap A = A,A \cap \emptyset = \emptyset,A \cap B = B \cap A \]3.2 并集
由集合\(A\)与集合\(B\)的所有元素合并在一起构成的集合叫做\(A\)与\(B\)的并集，记作：\(A \cup B\) ,显然有：
\[A \cup A = A,A \cup \emptyset = A, A \cup B = B \cup A \]区间
1 定义
用“属性法”来表示数集的好处是它可以很方便的表示数轴上的 “一段” 连续的点，比如，由数轴上介于 1 与 2 之间的实数构成的数集可方便的表示为
\[A = \{ x \mid 1 < x < 2 \} \]像这样由数轴上的一段连续的点构成的数集我们称之为区间，记作 \((1,2)\)
2 区间分类
常见的区间定义如下表，表中a,b是确定的实数。正负无穷大不代表任何数，仅仅是记号
| 名称 | 闭区间 | 开区间 | 左开右闭 | 左闭右开 | 正无穷区间 | 负无穷区间 | 无穷区间 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 记号 | \([a,b]\) | \((a,b)\) | \((a,b]\) | \([a,b)\) | \((a,+\infty)\) | \((-\infty,b]\) | \((-\infty,+\infty)\) |
| 定义 | \(\{ x \mid a \leq x \leq b \}\) | \(\{ x\mid a<x<b \}\) | \(\{ x\mid a < x \leq b \}\) | \(\{ x\mid a \leq x < b \}\) | \(\{ x\mid a<x< +\infty \}\) | \(\{ x\mid -\infty<x \leq b \}\) | \(\{x\mid -\infty<x<+\infty\}\) |
函数
1 定义
设 \(x,y\) 是两个变量，\(x\)的变化范围是实数集 \(D\) 。如果对于任何的 \(x \in D\) ，按照一定的法则都有唯一确定的 \(y\) 值与之对应。则称变量 \(y\)是变量 \(x\) 的函数。记作 \(y = f(x)\) 。称 \(D\) 是函数的定义域，\(x\) 是自变量，\(y\) 是因变量。全体函数值的集合称为函数 \(y\) 的值域
判断是不是同一个函数
不是同一个函数，通过坐标系可以发现是4种不同的线。
\(f_1 = x\)
\(x\) 是实数
\(f_2 = \sqrt{x^2}\)
\(x\) 是实数，但是值都是正数
\(f_3 = (\sqrt x)^2\)
\(x\)是自然数
\(f_4 = \frac{x^2}{x}\)
\(x\)是不等于0的实数
函数例子
\(h = \frac{1}{2}gt^2,t \in [0,T]\)
符号函数
\(y = sgn(x) = \begin{cases} 1,x>0\\ 0,x=0\\-1,x<0 \end{cases}\)
气温函数
人口函数
分段函数，出租车收费
\(y=\begin{cases} 10,0<x \leq 3\\ 10+3(x-3),3<x\leq8\\ 25+2.5(x-8),x>8 \end{cases}\)
曲边三角形面积函数
2 表示方法
2.1 公式法
用数学公式表示因变量\(y\)与自变量\(x\)之间的对应法则
2.2 图像法
用因变量 \(y\) 与自变量 \(x\) 为坐标\((x,y)\) 所成的点的轨迹
2.3 表格法
3 性质
函数的六大性质，只说明前4性质
3.1 有界性
定义：设函数\(f(x)\)在数集\(X\) 内有定义。若存在正数\(M\),使得对任何 \(x \in X\),都有 $ \mid f(x) \mid \leq M$ 成立，则称 \(f(x)\) 在 \(X\) 内有界，称 \(M\) 为 \(f(x)\) 的一个界。若这样的 \(M\) 不存在，则称 \(f(x)\)在 \(X\) 内无界。
整个的定义域里面，不管\(x\)取哪个值，它的\(y\)值都小于等于或大于等于某个值，则有界。界限的意思。有没有一个数限定在范围内。
- 有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数。只有一个界是不行的
- 界的无穷。函数有界则必定有无穷多个界
- 函数的有界性如何与自变量的 \(x\) 的范围有关。
3.2 单调性
定义：设函数 \(f(x)\) 在区间\(X\)内有定义。若对于任何的\(x_1,x_2 \in X.x_1 < x_2\),都有 \(f(x_1) < f(x_2)\) 成立，则称函数 \(f(x)\)在区间 \(X\) 上单调增加；若对于上述 \(x_1,x_2\) 都有 \(f(x_1) > f(x_2)\) 成立，则称函数 \(f(x)\)在区间 \(X\)上单调减少。
\(y = x^2\)
负无穷到0，单调递减，0到正无穷，单调递增
例题
证明：函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \((-\infty,0)\) 上单调递减函数，但是它在区间 \((0,+\infty)\) 上是单调递增函数
\(f(x_2) - f(x_1) = (x_2)^2 - (x_1)^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) > 0\)
\(x_1,x_2\) 在区间 \((0,+\infty)\) 中因为\(x_2 > x_1\)，所以上面的值永远大于0，那么\(f(x_1) < f(x_2)\)，则在区间 \((0,+\infty)\) 上单调递增。
\(f(x_1) - f(x_2) = (x_1)^2 - (x_2)^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) < 0\)
因为\(x_2 > x_1\)，所以$x_1 - x_2 < 0 $ ，那么 \(f(x_1) < f(x_2)\) ，则在区间 \((-\infty,0)\) 上单调递减
3.3 奇偶性
定义：
设函数\(f(x)\)的定义域\(D\) 是关于原点对称的，即若\(x \in D\) 则 \(-x \in D\) ，若对于任何 \(x \in D\) ，都有
\[f(-x) = f(x) \]成立，则称\(f(x)\) 为偶函数；若对于上述\(x\)有
\[f(-x) = -f(x) \]成立，则称\(f(x)\) 为奇函数。
由定义可知，偶函数的图像是关于\(y\)轴对称的，而奇函数的图像是关于坐标原点对称(旋转180°重合)的
\(y = x^2\) 是偶函数
对定义域要求是关于原点对称的
加绝对值和偶次方都是偶函数
例题
1 讨论下列函数的奇偶性(4类)
\(f(x) = x \mid x\mid\) 奇函数
\(f(x) = x + \mid x \mid\) 非奇非偶
\(f(x) = x^2 + x^4\) 偶函数
\(f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\) 偶函数
\(f(x) = ln(x + \sqrt{1+x^2})\) 奇函数
\(f(x) = ln\frac{1-x}{1+x}\) 奇函数
2 证明：设函数\(f(x),g(x)\) 都是 \([-a,a]\)上的偶函数，则\(f(x)+g(x)\)也是\([-a,a]\)上的偶函数
\(F(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = F(x)\)
结论：设所考虑的函数都在\([-a,a]\) 上有定义
- 两个偶函数之和，之积为偶函数
- 两个奇函数之和为奇函数，之积为偶函数
- 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数
3.4 周期性
定义：设函数\(f(x)\)的定义域是 \(R\) 若存在常数 \(T\) ，使得对于任何 \(x \in R\)，都有
\[f(x + T) = f(x) \]成立，则称\(f(x)\) 是周期函数，一般称满足上式的最小的正数 \(T\) 为 \(f(x)\)的周期
3.5 连续性
3.6 凹凸性
4 反函数和复合函数
5 初等函数
标签：02,infty,函数,mid,偶函数,区间,集合,反函数 来源： https://www.cnblogs.com/hsbt2333/p/16367328.html