可导与可微

一阶函数可导等于可微，多维函数可微必可导，可导未必可微。多维导数为偏导数，用降维思维求各个方向的导数并用向量将之合成为一个合向量，该合向量就是该点处的偏导数。

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy存在如下的关系： Δy=g(x)Δx+ο(Δx)【实际上可简化成（x+Δx，y+Δy）的点存在，由于未限制Δy和Δx的正负，实际上是一个基于（x，y）的，半径与Δy和Δx有关的圆】 其中g(x)为与Δx 无关的函数，ο(Δx)是比 Δx 高阶的无穷小。则称函数f(x)在点 x 可微，并称 g(x)Δx 为函数 f(x) 在点 x 的微分，记作 dy，即 dy=g(x)Δx，当 x= x0 时，则记作 dy∣x=x0。 上橙黄色段落摘自百度。 由Δy=g(x)Δx+ο(Δx)可知，若y在（x，y）该点可微，则微分后的x和y（即Δy和Δx）之间有关系，即在该点附近的点都要连续，若不连续就不满足可微的条件，而连续就有导数的存在，但二阶以上的函数数在各个方向上的导数未必相等，故只能称之为偏导数，靠确定相关的轴来求对应的偏导数。由于一阶函数只有一个维度，只有一个方向，故在该方向上连续与可导是可以相互证实的。 ps：以上图为例，若上图是个有限边的平面，在边上的点就不可微（顾头不顾尾类型），但是可导。

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