杜教筛

• 杜教筛是用来在非线性时间内求积性函数的前缀和

前置知识

• 积性函数（莫比乌斯函数，欧拉函数。。。）

• 狄利克雷卷积

杜教筛

• 假设当前要求积性函数的 \(\sum_{i=1}^n f_i\)

• 那么我们找一个合适的另一个积性函数 \(g\)

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n(f*g)(i)\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\\ =&\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} f_i\\ =&\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{aligned} \]

• 那么 \(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)

• 那么 \(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)

• 最后这个式子可以当作一个 公式

• 所以现在就需要找到一个合适的积性函数 \(g\) 使得可以快速的求出这两个部分，后面的部分可以用数论分块优化，前面的部分一般可以 \(O(1)\) 算

• 那么一般的复杂度就是 \(O(n^{\frac{3}{4}})\) ，如果预处理出长度为 \(n^{\frac{2}{3}}\) 的前缀和，那么可以证明复杂度为 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)

• 还有的优化就是在递归的时候记忆化

• P4213 【模板】杜教筛（Sum）

• 代码

P3768 简单的数学题

• 首先转换成 \(\sum_{x=1}^nx^3\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\mu(d)d^2g(\frac{n}{dx}),g(x)=(\frac{(1+x)x}{2})^2\)

• 这里有个套路，设 \(T=dx\) ，把 \(g\) 提前

• 因为我们需要构造出我们熟悉的数论函数，所以这个和 \(\mu\) 函数连在一起的分块结构必须分离

• \(\sum_{T=1}^n g(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)\times T^2\sum_{d|T}\mu(T)(\frac{T}{d})\)

• 将后面的一坨看成 \(f(x)\) ，那么就是 \(\sum_{T=1}^n g(..)\times f(T)\)

• 前面的部分可以用数论分块优化，后面的 \(f\) 考虑用非线性的杜教筛

• 对于 \(f(x)=x^2\sum_{d|x}\mu(x)(\frac{x}{d})=x^2\varphi(x)\)

• 考虑找一个积性函数，最好将 \(\varphi\) 变成 \(\operatorname{id}\) ，所以需要先将 \(x^2\) 消掉，设 \(h(x)=x^2\)

• 那么 \((f\cdot h)(x)=x^2\sum_{d|x}\varphi(d)=x^3\)

• 那么就可以直接套杜教筛，\(S(n)=\sum_{i=1}^ni^3-\sum_{i=2}^ni^2S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)

• \(\sum_{i=1}^n i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ，\(\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ，那么整体的复杂度就可以做到 \(n^{\frac{2}{3}}\)

• 虽然外层套了层数论分块，但是我们记忆化了，最后只会有 \(\sqrt n\) 个点值会被算到，所以整体的复杂度在里面的杜教筛，所以可以看成 \(O(\sqrt n + n^\frac{2}{3})\)

标签：lfloor,frac,函数,sum,rfloor,杜教
来源： https://www.cnblogs.com/kzos/p/16341338.html