同余

一.定理

• $ a \equiv b~ (mod ~m) _{\Leftrightarrow} a-b=mt $
• $ a \equiv b~ (mod ~m) _{\Leftrightarrow} b \equiv a~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv b ~ (mod ~m) \iff a\equiv c ~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff a+c\equiv b+d ~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff a-c\equiv b-d ~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff ac\equiv bd ~ (mod ~m) $

二.推论

• 若 $ a \equiv b~ (mod ~m) \(，\) n \(为自然数 ，则\) an \equiv bn~ (mod ~m) $ 。

• 若 $ a \equiv b~ (mod ~m) \(，\) n \(为自然数 ，则\) a^n \equiv b^n~ (mod ~m) $ 。

• 若 $ ca\equiv cb ~ (mod ~ m) , gcd(c,m)=d $ ，且 $ a,b,c,m $为整数，则 $ a\equiv b ~(mod ~ \frac{m}{d}) $。

  证明 ：
  显然 $ m|c(a-b) \iff m|d(c/d)(a-b)$ 且 $ m \perp (c/d) \( 所以\) \frac{m}{d}|a-b \iff a \equiv b~(mod ~ \frac{m}d) $

• 若 $ ca\equiv cb ~ (mod ~ m) , gcd(c,m)=1 $ ，且 $ a,b,c,m $为整数，则 $ a\equiv b ~(mod ~ {m}) $。

• 若 $ a\equiv b ~ (mod ~ m) ,\exists d|m $ ，则 $ a\equiv b ~(mod ~ {d}) $。
  证明：
  易得 $ m|a-b $
  由于 \(a-b\) 中必有m的全部因子，所以显然 $ d|a-b $
  所以 $ a\equiv b ~(mod ~ {d}) $

• 若 $ a\equiv b_(modm),a\equiv b _(modn) $，则 $ a\equiv b _(modlcm(n,m)) $
  证明：
  设 $ d=gcd(n,m)_m=x*dn=yd~lcm(n,m)=xyd\( \) \iff xd|a-b,yd|a-b \( \) \iff xy*d|a-b\( \) \iff lcm(n,m)|a-b \( \) \iff a\equiv b_(modlcm(n,m))$
• 若 $ a\equiv b_(modm_i),i=1,2,3,....,n $ 则 $ a\equiv b_(modlcm(m_1,m_2,..,m_n)) $

• $ a\equiv b_(modm) \Rightarrow ak\equiv bk _(modmk) \( **证明**： \) \Rightarrow m|a-b \Rightarrow mk|ak-bk \iff ak\equiv bk _(modm*k) $

• $ a\equiv b ~ (mod~m) \Rightarrow gcd(a,m)=gcd(b,m) \( **证明**： \) \gcd(a,m)=\gcd(m,a \bmod m) $ 且 $ \gcd(b,m)=\gcd(m,b \bmod m) \( \) \because a\equiv b ~ (mod~m) \( \) \therefore a%m=b%m \( \) \therefore gcd(a,m)=gcd(b,m) $

6.完全平方数模的特征

• 完全平方数模 $ 4 $ 同余于 $ 0,1 $

• 完全平方数模 $ 8 $ 同余于 $ 0,1,4 $

• 完全立方数模 $ 9 $ 同余于 $ 0,1,-1 $

• 整数的四次幂模 $ 16 $ 同余于 $ 0,1 $

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