数分课的一些拓展。

逐点收敛：

一个函数列\(\{f_n(x)\}\)逐点收敛到\(f(x)\)如果\(\forall x\in D,\epsilon>0,\exist N,n>N,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\).

一致收敛：

一个函数列\(\{f_n(x)\}\)一致收敛到\(f(x)\)如果\(\forall \epsilon>0,\exist N,\forall x\in D,n>N,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\).

等度连续：

一个函数列\(\{f_n(x)\}\)满足\(\forall \epsilon>0,\exist \delta ,s.t.\forall n,x_0\in D,|x-x_0|<\delta,|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon\).

于是有如果\(f(x)\)连续，那么一致收敛\(\Leftrightarrow\)等度连续+逐点收敛。

证明：

\(\Rightarrow\) 推逐点收敛显然，推等度连续:\(f(x)\)连续，所以\(\forall \epsilon, \exist \delta_1\)使得\(\forall x\in B_{\delta_1}(x_0),|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)，一致收敛对同上的\(\epsilon,\exist N\)使得\(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\)，那么有\(|f_n(x)-f_n(x_0)|<|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f(x_0)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|<3\epsilon\) 然后加上前面有限项，于是等度连续。

\(\Leftarrow\) 简略有\(|f_n(x)-f(x)|<|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|+|f(x_0)-f(x)|\)类似于上面的推法即可得。

显然可以用等度连续去看一些判别法为什么成立（以及要求有多过）。。

标签：epsilon,逐点,拓展,数分,exist,delta,forall,一些,收敛
来源： https://www.cnblogs.com/chinohhj/p/16315968.html