CF47E题解
作者：互联网
原题
思路概述
题意分析
给定 \(n\) 个起点坐标 \((0,0)\) 速度大小同为 \(v\) ，抛射角分别为 \(\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n\) 的炮弹初速度；再给定 \(m\) 面顶端坐标为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_m,y_m)\) 的墙壁，求每颗炮弹的最终落点（不考虑滑落和滚动）。
思路分析
一眼物理题，套斜抛运动公式即可。但是 \(1≤n≤10^4,1≤m≤10^5\) 的数据使得对每一颗炮弹枚举所有墙壁的算法不可能在时限内跑完，所以考虑贪心。
算法实现
关于斜抛运动公式
由高中物理必修二第一章的物理知识不难推导出斜抛运动的射程、射高公式。由于本题只要求求解最终落点而非某一时刻炮弹位置，所以我们采用斜抛运动的轨迹方程。
速度的分解不解释，直接套公式即可：
\[v_x=v\cos\alpha,v_y=v\sin\alpha \]首先考虑一种特殊情况：炮弹没有碰到墙壁或已经越过所有墙壁。这时炮弹的最终坐标即为其最远射程与地面形成的点，即 \((x_{max},0)\) 。由相关物理常识可以得出（重力加速度 \(g\) 根据题目要求取 \(9.8m/s^2\) ，下文同理）：
\[x_{max}=v_x\frac{2v_y}{g} \]对于给定水平位移求竖直高度的问题，回到牛顿力学运动公式本身即可推导：
\[∵x=v_xt,y=v_yt-\frac{1}{2}gt^2 \]\[∴t=\frac{x}{v_x} \]\[∴y=\frac{v_yx}{v_x}-\frac{gx^2}{2v_x^2} \]关于排序和贪心
如前文所述，由于本题数据规模的原因，所以不可能用 \(O(nm)\) 的时间复杂度来对每颗炮弹分别枚举所有墙壁，故考虑排序后的贪心策略。
阅读题目时，不难注意到，所有同炮弹的抛射角都满足 \(\alpha_i∈(0,\frac{\pi}{4}]\) 。又根据物理常识可知，这个范围内抛射物在任意时间点的高度都是随抛射角递增的。所以得出结论：在本题抛射角要求范围内，抛射角越大，更有可能越过更多的墙壁。因此，我们先将给定的速度分解后，按抛射角从小到大排序。
贪心算法和双指针
将墙壁按横坐标排序，原因不再冗述。
由上文所得结论，不难得知：在按抛射角递增的顺序给所有炮弹排序后，以当前炮弹的速度 \(v_i(1≤i≤n)\) 可以越过的墙壁（设其集合为 \(W_i\)），其后抛射角更大的炮弹一定能越过，即 \(W_i⊆W_j(i<j)\) 。
根据上述结论，就可以形成本题的算法流程：首先用变量 \(i\) 枚举炮弹，然后用 \(j(r_{i-1}≤j≤m)\) 枚举墙壁（此处 \(r_i\) 表示第 \(i\) 颗炮弹能越过的最远的墙壁下标），并使用上文提到的轨迹方程计算坐标即可。
一些注意事项
由于在最开始的预处理中需要将炮弹按抛射角大小排序，而本题又采用的是离线查询，所以需要在读入数据时给每颗炮弹编号，计算出坐标后再将结果映射回原下标。
除去上文的贪心算法，本题的数据中还存在少数特例，即炮弹没有碰到任何墙壁或已经越过了所有墙壁。这时则直接返回抛物线与水平面的交点坐标。
AC code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<set>
#include<ctime>
#define RI register int
#define RD register double
#define RN register point
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const double g=9.8000000000,pi=3.1415926535,eps=1e-10;
typedef struct velocity
{
double s,agl;
double x,y,d;
int ord;
inline void divide(void)
{
x=s*cos(agl);y=s*sin(agl);/*分解速度*/
d=x*2*y/g;/*最大射程*/
return;
}
inline bool operator <(const velocity &x)const
{
return x.agl>agl;
}
};
typedef struct wall
{
double x,y;
inline bool operator <(const wall &X)const
{
return X.x>x;
}
};
velocity v[maxn];
wall w[maxn],ans[maxn];/*由于需要对速度按抛射角排序后进行离线查询 所以此处用结构体数组存储答案*/
int n,m;
double vel;/*速度大小*/
inline double calc(velocity a,double x);/*通过斜抛运动轨迹方程计算高度*/
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
cin >> n >> vel;
for(RI i=1;i<=n;++i)
{
v[i].s=vel;cin >> v[i].agl;
v[i].divide();v[i].ord=i;
}
sort(v+1,v+n+1);
cin >> m;
for(RI i=1;i<=m;++i) cin >> w[i].x >> w[i].y;
sort(w+1,w+m+1);
for(RI pv=1,pw=1/*pv为速度指针 pw为墙壁指针*/;pv<=n;++pv)
if(w[pw].x>v[pv].d) ans[v[pv].ord]=(wall){v[pv].d,0};/*墙壁横坐标已经大于最大射程*/
else
{
while(w[pw].y<calc(v[pv],w[pw].x) && pw<=m) ++pw;/*当前墙壁无法挡住炮弹 墙壁指针后移*/
if(pw<=m) ans[v[pv].ord]=(wall){w[pw].x,calc(v[pv],w[pw].x)};/*炮弹落在墙壁上*/
else ans[v[pv].ord]=(wall){v[pv].d,0};/*炮弹越过所有墙壁落在空地上*/
}
for(RI i=1;i<=n;++i) printf("%.9lf %.9lf\n",ans[i].x,ans[i].y);
return 0;
}
inline double calc(velocity a,double x)
{
return a.y*(x/a.x)-0.5*g*(x/a.x)*(x/a.x);/*斜抛轨迹方程 详见题解*/
}
标签：frac,墙壁,题解,double,炮弹,CF47E,抛射,include 来源： https://www.cnblogs.com/frkblog/p/16302207.html