将函数 f(x) 展开为 g(x) 的幂级数，并求其收敛域

将函数 f(x) 展开为 g(x) 的幂级数，并求其收敛域

主要方法，利用麦克劳林公式，想办法将f(x)中的x等价替换成g(x)，然后直接带入进麦克劳林公式即可

问题：

将函数f(x)转换为g(x)的幂级数，并求收敛域

\[f(x)=\frac{1}{3-x} \qquad g(x)=x-1 \]

题解：

1、展开式

​ 函数f(x)类似于麦克劳林公式的\(\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{0}^{\infty}x^n\)，因此将f(x)想办法化成\(\frac{1}{1-?}\)的形式，然后将?当做x带入即可解展开式

2、收敛域

​ 由于麦克劳林公式的\({\frac{1}{1-x}}\) 中x的收敛域为(-1, 1)，将?看做x带入，可得函数f(x)的收敛域

答案：

将f(x)做转化

\[f(x)=\frac{1}{3-x}=\frac{1}{2} * \frac{1}{1-\frac{x-1}{2}} \]

将\(\frac{x-1}{2}\)看做?，带入进麦克劳林公式，可得

\[f(x)=\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}} \]

求收敛域：

\[-1<\frac{x-1}{2}<1 \qquad -1<x<3 \]

附上：常用麦克劳林公式

标签：并求,麦克劳,frac,公式,幂级数,带入,收敛
来源： https://www.cnblogs.com/acdongla/p/16279088.html