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[数学基础] 8 常见数

作者:互联网

常见数

ps:俺觉得学常见数,更多的可以说是借着常见数来学习如何推公式,以及其中dp状态转移的化简,对子问题的划分xd

1.卡特兰数(Catalan Number)

ps:这篇博客说的应用非常好,但是太多了,贴个链接

https://zhuanlan.zhihu.com/p/31317307

(1) 定义:

设卡特兰数的第\(n\)项为\(h(n)\),\(h(0)=1,h(1)=1\)。catalan数满足递推式:

\(h(n)=h(0)\times h(n)+h(1)\times h(n-1)\times ...\times h(n-1)\times h(0)\),\(n\geq 2\)

此时递推关系的解为\(h(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)

另类递推式:\(h(n)=h(n-1)\times \frac{4n-2}{n+1}\),或者说\(h(n+1)=h(n)\times \frac{4n+2}{n+2}\)

递推关系的另类解为\(h(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)。

事实上,它们都是等价的。(这些递推式还是挺容易证明的就不写了,敲公式好累)

以防一时看不出来,记一下前几项(误)(从第0项开始)

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

(2) 应用

题目见AcWing415,相当于问一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列。

对于每一个\(h(k)\),我们都可以把它的每个进出栈的过程看成独立的,然后枚举分割的方案,那么\(h(k)=h(0)\times h(k-1)+...+h(n-1)\times h(0)\)。(我知道我讲的不好,但是意会一下QAQ)

或者这么想,对于每个数来说,必须进栈一次,出栈一次。把进栈设置为状态0,出栈设为1。那么,\(n\)个数的所有状态对应\(n\)个1和\(n\)个0组成的长度为\(2n\)的序列。显然,无论何时,进栈的数量都不小于出栈的数量,这个问题就转换成了AcWing889(我在刷题有详细写解法)

类似的还有买票找零问题,有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少种方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)。

在一个凸多边形中,通过若干条互不相交的对角线,把这个多边形划分成了若干个三角形。给定凸多边形的边数\(n\),求不同划分的方案数\(f(n)\)​。嗯……lcy讲过这个来着,but我还是贴一下百度百科的证明吧(捂脸)

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形,所以我们以某一条边为基准,以这条边的两个顶点为起点\(P_1\)和终点\(P_n\),将该凸多边形的顶点依序标记为\(P_1,P_2,...,P_n\),再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点\(P_k,2\leq k \leq n-1\),来构成一个三角形,用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形,其中一个凸多边形,是由\(P_1,P_2,...,P_k\)构成的凸\(k\)边形(顶点数即是边数),另一个凸多边形,是由\(P_k,P_{k+1},...,P_n\)构成的凸\(n-k+1\)边形。

此时,我们若把\(P_k\)视为确定一点,那么根据乘法原理,\(f(n)\)的问题就等价于——凸\(k\)多边形的划分方案数乘以凸\(n-k+1\)多边形的划分方案数,即选择Pk这个顶点的\(f(n)=f(k)×f(n-k+1)\)。而\(k\in[2,n-1]\),所以再根据加法原理,将k取不同值的划分方案相加,得到的总方案数为:\(f(n)=f(2)f(n-2+1)+f(3)f(n-3+1)+…+f(n-1)f(2)\)。也就是说,\(f(n)=h(n-2)\)。

有\(n+1\)个叶子节点的满位置二叉树(即每个节点有0或2个子节点,且左子节点和右子节点是不同的)的计数问题,相当于有\(n\)个内节点的满位置二叉树的计数问题。

这道题,我还是和凸多边形划分相同的思路,可以发现,这些应用都有一个共同的特点,就是可以通过一次分割,划分为两个完全一致只是规模变小的子问题,并且,这两个子问题完全独立,那么所得方案数就可以通过乘法原理相乘,再枚举分割方法,根据加法原理把它们相加。

博客提供了一个很特别的思路。

这些都是很经典的问题,但是太多了写不下(不想写),可以自己看我上面的链接哦,我觉得值得一看!特别是全排列和young表

2. 斐波那契数

(1) 定义:

递推式:\(F_0=0,F_1=1\),\(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\),\(n\geq3,n\in \N\)。

通项公式:\(F_n=\frac{1}{\sqrt 5}[(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n]\)

(通项公式就是用待定系数法搞成等比数列然后组合证明出来的,可以看https://www.cnblogs.com/1024th/p/10902775.html这个博客,这里简单说一下另一种方式)

显然可以构造等比数列\(C_n=F_n-aF_{n-1}\),那么\(F_n-aF_{n-1}=b(F_{n-1}-aF_{n-2})\),代入递推式就可以解出来\(a,b\)的值,得到\(C_n=b^{n-1}\),则\(F_n=b^{n-1}+aF_{n-1}\),这样就把二阶递推式化成了一阶递推式,然后再做一次待定系数法,\(F_n+kb^n=-a(F_{n-1}+kb^{n-1})\),然后不停化简,得到\(k\)的式子,再把\(a,b\)两组解的任何一组代进去(两组解结果一样的),就得到了\(F_n=\frac{1}{\sqrt 5}[(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n]\)。这个通项公式有叫“比内公式”,是无理数表示有理数的一个范例。

(2) 相关恒等式:

(证易,敲累,简写,博客有多处笔误,按俺的公式来)

证明:\(F_1+F_2+F_3+...=F_3-F_2+F_4-F_3+...=F_{n+2}-F_2\)

证明:\(F_nF_{n+1}=F_n(F_{n-1}+F_n)=F_n^2+F_{n-1}(F_{n-2}+F_{n-1})=...=\sum\limits _{i=1}^n F_i^2\)

证明:\(F_{2n}=F_{2n-1}+F_{2n-2}=F_{2n-1}+F_{2n-3}+F_{2n-4}+...=F_1+F_3+...+F_{2n-1}\)

证明:和上一个恒等式一模一样属于是

证明:数学归纳法

当\(m=2\)时,\(F_n=F_2F_{n−2+1}+F_{2−1}F_{n−2}=F_{n−1}+F_{n−2}\)成立。

设当\(m=k(2≤k≤n−2)\)时,\(F_n=F_kF_{n−k+1}+F_{k−1}F_{n−k}\)成立。
$ \begin{align} & F_n=F_kF_{n−k+1}+(F_{k+1}−F_k)F_{n−k}\ &=F_{k+1}F_{n-k}+F_k(F_{n-k+1}-F_{n-k})\ & =F_{k+1}F_{n-k}+F_kF_{n-k-1} \end{align}$

即\(m=k+1\)时等式依旧成立,得证。

数学归纳法,假设\(F_{n-1-1}F_{n-1+1}=F_{n-1}^2+(-1)^{n-1}\)成立

\((F_{n}-F_{n-2})(F_n+F_{n-1})=F_n^2+(-1)^n\)

\(\Leftrightarrow F_n^2+F_nF_{n-1}-F_{n-2}F_n-F_{n-2}F_{n-1}=F_n^2+(-1)^n\)

\(\Leftrightarrow F_{n-1}(F_n-F_{n-2})-F_{n-2}F_{n}=(-1)^n\)

\(\Leftrightarrow -F_{n-2}F_n=-F_{n-1}^2+(-1)^n\)

\(\Leftrightarrow F_{n-1-1}F_{n-1+1}=F_{n-1}^2+(-1)^{n-1}\),得证

(3) 性质:

证明:\((F_n,F_{n-1})=(F_{n-1},F_n-F_{n-1})\),不断递归,\((F_2,F_1)=1\)。

证明:\((F_n,F_m)=(F_mF_{n-m+1}+F_{m-1}F_{n-m}, F_m), n>m\)

又\((a,b)=(a-kb,b)\),所以\((F_n,F_m)=(F_{m-1}F_{n-m},F_m)\)

因为相邻项互质,所以\(F_{m-1},F_m\)没有公因子,因此\((F_n,F_m)=(F_{n-m},F_m)\)

不断递归下去,可得\((F_n,F_m)=(F_{n\mod m},F_m)\)

交换\(m,n \mod m\)的位置,一直做下去,我超 是你,欧几里得!得证。

相当于性质2的特例。

(4) 计算方法

参见yxc的求解斐波那契数列的若干方法

在此之外,补充另一种利用性质计算的方法:快速倍增法
emmmmmm namo 我的快速倍增法去哪里了内?
也许我有空就会补上吧!(摆大烂)

(5) 应用

有些奇奇怪怪的组合数,化到最后是斐波那契和其他式子的组合,可以说是非常神奇(指我不会

标签:凸多边形,frac,常见,基础,sqrt,times,数学,2n,递推
来源: https://www.cnblogs.com/vivaldi370/p/MathBasic_8_Number.html