SG和的证明

SG和的证明

原证明方法存在缺陷，这里使用另一种更完全的证明方法。
简介：主要利用SG函数和mex函数的定义和推论进行证明。

原定义有关SG和的定义不完全，这里进一步进行如下定义:
SG和的基本定义1：当对任意子游戏操作时，不对其他任意子游戏状态产生影响，即称为相互独立的子游戏。
SG和的基本定义2：整体状态\(G=<g_{k_1},g_{k_2},...,g_{k_n}>\)。
SG和的基本定义3：当子游戏\(k_i\)状态为\(g_{k_i}\)时，操作集合为\(f_{k_i}\)，其后继状态集合为\(h_{k_i}\)。
SG和的基本定义4：当整体状态为\(G\)时，操作集合\(F=\cup_{i=1}^{n}{f_{k_i}}\)，其后继状态集合\(H=\{h|h=<g_{k_1},g_{k_2},...,g_{k_{i-1}},h_{{k_i}j},g_{k_{i+1}},...,g_{k_n}>,h_{{k_i}j}\in h_{k_i},1\le i\le n\}\)

使用数学归纳法证明：\(SG(G)=\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}\)。
显然\(\forall i,SG(g_{k_i})=0\)时\(SG(G)=\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}=0\)。
假设\(SG(h)=(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j},h\in H\)。
证明\(SG(G)=\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}\)成立。
1）由SG函数定义得\(SG(G)=mex(SG(H))=mex({SG(h)|h\in H})=mex({(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j}|h\in H})\)
2）由SG推论1得\((\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j}\neq (\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\)
即证：\(\forall m,m<(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}),m\in N^0\)，一定\(\exists i,j\)，使得\((\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j}=m\)。
1）由异或变换引理2得\(\exists b\in N^+\)，使得\(m=(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus b\)，并且\((\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\)二进制第\(u\)位一定为1。其中\(u\)为\(b\)二进制最高位所在位数。
2）可得\(\exists i,g_{k_i}\)第\(u\)位为1。\(g_{k_i}\oplus b<g_{k_i}\)。
3）由SG推论1得\(\exists j,h_{{k_i}j}=g_{k_i}\oplus b\)
4）综上得证。

标签：定义,exists,证明,oplus,SG,mex
来源： https://www.cnblogs.com/AIM2019/p/16270646.html