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小知识点普及:裴蜀等式

作者:互联网


在数论中,裴蜀等式(英语:Bézout’s identity)或贝祖定理(Bézout’s lemma)是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):
ax + by = m 有整数解时当且仅当m是d的倍数。
裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用扩展欧几里得算法(Extended Euclidean algorithm)求得。

例如,12和42的最大公因数是6,则方程12x+42y=6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

特别来说,方程 ax+by=1 有整数解当且仅当整数a和b互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义: d其实就是最小的可以写成ax+by形式的正整数。(这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。)

证明:

如果

和 中有一个是 0,比如 ,那么它们两个的最大公约数是 。这时裴蜀等式变成 ,它有整数解 (x,y) 当且仅当 是 的倍数,而且有解时必然有无穷多个解,因为 可以是任何整数。定理成立。
以下设 a和 b 都不为0。
设 ,下面证明A中的最小正元素是 a 与 b 的最大公约数。
首先, 不是空集(至少包含 和 ),因此由于自然数集合是良序的, 中存在 最小正元素 。考虑 中任意一个 正元素 对 的带余除法:设 ,其中 为正整数, 。但是

而 已经是集合 中最小的正元素了,又 ,所以 。
因此 。也就是说,A中任意一个正元素p都是 的倍数,特别地: 。因此 是 和 的公约数。
另一方面,对 a 和 b 的任意正公约数 ,设 ,那么

,因此 。所以 是 和 的最大公约数。
在方程 中,如果 ,那么方程显然有无穷多个解:

相反的,如果 有整数解,那么 ,于是由前可知 (即 )。
m=1时,方程有解当且仅当a、b互质。方程有解时,解的集合是


其中 是方程ax+by=d的一个解,可由辗转相除法得到。
所有解中,有且仅有一个解(x,y) 满足

为扩展欧几里得做铺垫的裴蜀等式

标签:知识点,方程,整数,最大公约数,等式,解时,裴蜀
来源: https://www.cnblogs.com/LQS-blog/p/16219326.html