1.期望

定义

\[E(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k-离散型 \]

\[E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx-连续型 \]

性质

• \(E(C)=C,C是常数\)
• \(E(CX)=CE(X),C是常数\)
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
• \(若X,Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)\)

2.方差

定义

\[D(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2 p_k-离散型 \]

\[D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx \]

性质

• \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)
• \(D(C)=0,C是常数\)
• \(D(CX)=C^2D(X),C是常数\)
• \(D(X+C)=D(X),C是常数\)
• \(两个随机变量有\)

\[D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[(X-E(X)(Y-E(Y))] \]

• \(若两个随机变量独立，有\)

\[D(X+Y)=D(X)+D(Y) \]

3.协方差

定义

\(两个随机变量X,Y的协方差\)

\[cov(X,Y)=E[(X-E(X)(Y-E(Y))] \]

\(相关系数\)

\[\rho_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} \]

性质

• \(cov(aX,bY)=ab\ cov(X,Y),a,b是常数\)
• \(cov(X_1+X_2,Y)=cov(X_1,Y)+cov(X_2,Y)\)
• \(独立一定不相关，不相关不一定独立\)

协方差矩阵

\(一定是对称，半正定的\)

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