斜率优化DP
作者：互联网
因为SB大佬觉得有用，于是我决定转载一下洛谷博客
%%%
优化形如\(f[i]=max/min(a[i]+b[j]+c[i]*d[j])\) \(（ j < i ）\)的DP方程，其中\(a[i]\) \(c[i]\)为只关于i的函数，\(b[j]\) \(d[j]\)为只关于b的函数，显然可以化成\(f[i]=max/min(b[j]+c[i]*d[j])+a[i]\) \(（ j < i ）\)但发现由于存在\(c[i]*d[j]\)与i j都有关的项，所以不能用朴素的单调队列继续优化（废话）
斜率优化
对决策点j,k(j<K)
考虑什么情况j一定不如k（以min为例）
j不如k即
\(b[j]+c[i]d[j]>b[k]+c[i]d[k]\)
移项
\(c[i] (d[j]-d[k])>b[k]-b[j]\)
\(c[i]>(b[k]-b[j])/(d[j]-d[k])\)(可能会变号，取决于\(d[]\)的单调性)
由于\(c[i]\)单调递增（题设），可以得到如果当前j不如k，那么以后j也不会优于k，所以可以舍弃j，想到用单调队列进行实现
定义函数\(slpoe(j,k)=(b[k]-b[j])/(d[j]-d[k])\)
显然出队条件为\(c[i]>slope(q[head],q[head+1])\)(head < tail,head tail这里是闭区间，开区间+1即可)
如何维护入队时队列单调性？
发现，对于队列中相邻三项l,m,r，两个斜率\(a=slope(l,m),b=slope(m,r)\)，如果\(a>b\)因为出队条件\(c[i]>slope(q[head],q[head+1])\)那么l出队时，m必然出队\((c[i]>a>b)\) 所以单调队列的\(slope\)应该单调递增
所以x入队时
$while(head<tail \(&&\)slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],x))$
(画画斜率可以发现维护了一个下凸包（也可能是上凸包）)
这样，就可以用单调队列配上\(slope\)愉快的砍掉复杂度上一个n
关于数形结合理解，由于本人太菜，顾不做详细叙述，看看大佬们的博客吧（逃）
优化后设队头为j
\(f[j]=a[i]+b[j]+c[i]d[j]\)
\(-c[i]d[j]+f[i]=a[i]+b[j]\)
可以看做一次函数解析式，-c[i]为斜率，当d[j]=0时，即为f[i]，所以直线在y轴上的截距就是所求，要取min，就让f[i]尽可能小，截距尽可能小，画图（本人不会）发现是个下凸包
（具体还是看大佬们的博客吧。。）
模板
不要少项！不要少项！不要少项！
f[i]的赋值可以直接用最初的式子，不用展开，推的式子写个slope就行（不要问我为啥要写这个）
标签：slope,head,队列,斜率,出队,DP,优化,单调 来源： https://www.cnblogs.com/Chencgy/p/16165926.html